Calcul infinitésimal Exemples

$\int \sin (2 x) \sec^{5} (2 x) d x$

Étape 1

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Étape 1.1

Réécrivez $\sec (2 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\int \sin (2 x) {(\frac{1}{\cos (2 x)})}^{5} d x$

Étape 1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (2 x)}$ .

$\int \sin (2 x) \frac{1^{5}}{\cos^{5} (2 x)} d x$

Étape 1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\int \sin (2 x) \frac{1}{\cos^{5} (2 x)} d x$

Étape 1.4

Associez $\sin (2 x)$ et $\frac{1}{\cos^{5} (2 x)}$ .

$\int \frac{\sin (2 x)}{\cos^{5} (2 x)} d x$

Étape 1.5

Factorisez $\cos (2 x)$ à partir de $\cos^{5} (2 x)$ .

$\int \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x) \cos^{4} (2 x)} d x$

Étape 1.6

Séparez les fractions.

$\int \frac{1}{\cos^{4} (2 x)} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} d x$

Étape 1.7

Convertissez de $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ à $\tan (2 x)$ .

$\int \frac{1}{\cos^{4} (2 x)} \tan (2 x) d x$

Étape 1.8

Associez $\frac{1}{\cos^{4} (2 x)}$ et $\tan (2 x)$ .

$\int \frac{\tan (2 x)}{\cos^{4} (2 x)} d x$

Étape 1.9

Factorisez $\cos (2 x)$ à partir de $\cos^{4} (2 x)$ .

$\int \frac{\tan (2 x)}{\cos (2 x) \cos^{3} (2 x)} d x$

Étape 1.10

Séparez les fractions.

$\int \frac{1}{\cos^{3} (2 x)} \cdot \frac{\tan (2 x)}{\cos (2 x)} d x$

Étape 1.11

Réécrivez $\tan (2 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\int \frac{1}{\cos^{3} (2 x)} \cdot \frac{\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\cos (2 x)} d x$

Étape 1.12

Réécrivez $\frac{\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\cos (2 x)}$ comme un produit.

$\int \frac{1}{\cos^{3} (2 x)} (\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}) d x$

Étape 1.13

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Étape 1.13.1

Convertissez de $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ à $\tan (2 x)$ .

$\int \frac{1}{\cos^{3} (2 x)} (\tan (2 x) \frac{1}{\cos (2 x)}) d x$

Étape 1.13.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (2 x)}$ à $\sec (2 x)$ .

$\int \frac{1}{\cos^{3} (2 x)} (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Étape 1.14

Multipliez $\frac{1}{\cos^{3} (2 x)} (\tan (2 x) \sec (2 x))$ .

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Étape 1.14.1

Associez $\tan (2 x)$ et $\frac{1}{\cos^{3} (2 x)}$ .

$\int \frac{\tan (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} \sec (2 x) d x$

Étape 1.14.2

Associez $\frac{\tan (2 x)}{\cos^{3} (2 x)}$ et $\sec (2 x)$ .

$\int \frac{\tan (2 x) \sec (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} d x$

Étape 1.15

Factorisez $\cos (2 x)$ à partir de $\cos^{3} (2 x)$ .

$\int \frac{\tan (2 x) \sec (2 x)}{\cos (2 x) \cos^{2} (2 x)} d x$

Étape 1.16

Séparez les fractions.

$\int \frac{\sec (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} \cdot \frac{\tan (2 x)}{\cos (2 x)} d x$

Étape 1.17

Réécrivez $\tan (2 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\int \frac{\sec (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} \cdot \frac{\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\cos (2 x)} d x$

Étape 1.18

Réécrivez $\frac{\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\cos (2 x)}$ comme un produit.

$\int \frac{\sec (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} (\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}) d x$

Étape 1.19

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Étape 1.19.1

Convertissez de $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ à $\tan (2 x)$ .

$\int \frac{\sec (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} (\tan (2 x) \frac{1}{\cos (2 x)}) d x$

Étape 1.19.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (2 x)}$ à $\sec (2 x)$ .

$\int \frac{\sec (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Étape 1.20

Factorisez $\cos (2 x)$ à partir de $\cos^{2} (2 x)$ .

$\int \frac{\sec (2 x)}{\cos (2 x) \cos (2 x)} (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Étape 1.21

Séparez les fractions.

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} \cdot \frac{\sec (2 x)}{\cos (2 x)} (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Étape 1.22

Réécrivez $\sec (2 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (2 x)}}{\cos (2 x)} (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Étape 1.23

Réécrivez $\frac{\frac{1}{\cos (2 x)}}{\cos (2 x)}$ comme un produit.

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\frac{1}{\cos (2 x)} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}) (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Étape 1.24

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Étape 1.24.1

Convertissez de $\frac{1}{\cos (2 x)}$ à $\sec (2 x)$ .

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\sec (2 x) \frac{1}{\cos (2 x)}) (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Étape 1.24.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (2 x)}$ à $\sec (2 x)$ .

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\sec (2 x) \sec (2 x)) (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Étape 1.24.3

Élevez $\sec (2 x)$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\sec^{1} (2 x) \sec (2 x)) (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Étape 1.24.4

Élevez $\sec (2 x)$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\sec^{1} (2 x) \sec^{1} (2 x)) (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Étape 1.24.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} {\sec (2 x)}^{1 + 1} (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Étape 1.24.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} \sec^{2} (2 x) (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Étape 1.25

Multipliez $\sec^{2} (2 x)$ par $\sec (2 x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.25.1

Déplacez $\sec (2 x)$ .

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\sec (2 x) \sec^{2} (2 x)) \tan (2 x) d x$

Étape 1.25.2

Multipliez $\sec (2 x)$ par $\sec^{2} (2 x)$ .

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Étape 1.25.2.1

Élevez $\sec (2 x)$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\sec^{1} (2 x) \sec^{2} (2 x)) \tan (2 x) d x$

Étape 1.25.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} {\sec (2 x)}^{1 + 2} \tan (2 x) d x$

Étape 1.25.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) d x$

Étape 1.26

Convertissez de $\frac{1}{\cos (2 x)}$ à $\sec (2 x)$ .

$\int \sec (2 x) \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) d x$

Étape 1.27

Multipliez $\sec (2 x)$ par $\sec^{3} (2 x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.27.1

Multipliez $\sec (2 x)$ par $\sec^{3} (2 x)$ .

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Étape 1.27.1.1

Élevez $\sec (2 x)$ à la puissance $1$ .

$\int \sec^{1} (2 x) \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) d x$

Étape 1.27.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int {\sec (2 x)}^{1 + 3} \tan (2 x) d x$

Étape 1.27.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$\int \sec^{4} (2 x) \tan (2 x) d x$

Étape 2

Laissez $u_{2} = \sec (2 x)$ . Alors $d u_{2} = 2 \sec (2 x) \tan (2 x) d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = \sec (2 x) \tan (2 x) d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.1

Laissez $u_{2} = \sec (2 x)$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $\sec (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sec (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.1.2.2

La dérivée de $\sec (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.1.3

Différenciez.

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Étape 2.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)$

Étape 2.1.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.3.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2$

Étape 2.1.3.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $\sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$2 \sec (2 x) \tan (2 x)$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\int {u_{2}}^{3} \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 3

Associez ${u_{2}}^{3}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{{u_{2}}^{3}}{2} d u_{2}$

Étape 4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{2}}^{3}$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{4} {u_{2}}^{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C)$

Étape 6

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Étape 6.1

Réécrivez $\frac{1}{2} (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C)$ comme $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

Étape 6.2

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Étape 6.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 4} {u_{2}}^{4} + C$

Étape 6.2.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{1}{8} {u_{2}}^{4} + C$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\sec (2 x)$ .

$\frac{1}{8} \sec^{4} (2 x) + C$