Calcul infinitésimal Exemples

$\int \sin (x) \sec^{8} (x) d x$

Étape 1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\int \sin (x) {(\frac{1}{\cos (x)})}^{8} d x$

Étape 1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\int \sin (x) \frac{1^{8}}{\cos^{8} (x)} d x$

Étape 1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\int \sin (x) \frac{1}{\cos^{8} (x)} d x$

Étape 1.4

Associez $\sin (x)$ et $\frac{1}{\cos^{8} (x)}$ .

$\int \frac{\sin (x)}{\cos^{8} (x)} d x$

Étape 1.5

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{8} (x)$ .

$\int \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos^{7} (x)} d x$

Étape 1.6

Séparez les fractions.

$\int \frac{1}{\cos^{7} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} d x$

Étape 1.7

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\int \frac{1}{\cos^{7} (x)} \tan (x) d x$

Étape 1.8

Associez $\frac{1}{\cos^{7} (x)}$ et $\tan (x)$ .

$\int \frac{\tan (x)}{\cos^{7} (x)} d x$

Étape 1.9

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{7} (x)$ .

$\int \frac{\tan (x)}{\cos (x) \cos^{6} (x)} d x$

Étape 1.10

Séparez les fractions.

$\int \frac{1}{\cos^{6} (x)} \cdot \frac{\tan (x)}{\cos (x)} d x$

Étape 1.11

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\int \frac{1}{\cos^{6} (x)} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} d x$

Étape 1.12

Réécrivez $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ comme un produit.

$\int \frac{1}{\cos^{6} (x)} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) d x$

Étape 1.13

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.13.1

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\int \frac{1}{\cos^{6} (x)} (\tan (x) \frac{1}{\cos (x)}) d x$

Étape 1.13.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\int \frac{1}{\cos^{6} (x)} (\tan (x) \sec (x)) d x$

Étape 1.14

Multipliez $\frac{1}{\cos^{6} (x)} (\tan (x) \sec (x))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.14.1

Associez $\tan (x)$ et $\frac{1}{\cos^{6} (x)}$ .

$\int \frac{\tan (x)}{\cos^{6} (x)} \sec (x) d x$

Étape 1.14.2

Associez $\frac{\tan (x)}{\cos^{6} (x)}$ et $\sec (x)$ .

$\int \frac{\tan (x) \sec (x)}{\cos^{6} (x)} d x$

Étape 1.15

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{6} (x)$ .

$\int \frac{\tan (x) \sec (x)}{\cos (x) \cos^{5} (x)} d x$

Étape 1.16

Séparez les fractions.

$\int \frac{\sec (x)}{\cos^{5} (x)} \cdot \frac{\tan (x)}{\cos (x)} d x$

Étape 1.17

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\int \frac{\sec (x)}{\cos^{5} (x)} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} d x$

Étape 1.18

Réécrivez $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ comme un produit.

$\int \frac{\sec (x)}{\cos^{5} (x)} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) d x$

Étape 1.19

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.19.1

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\int \frac{\sec (x)}{\cos^{5} (x)} (\tan (x) \frac{1}{\cos (x)}) d x$

Étape 1.19.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\int \frac{\sec (x)}{\cos^{5} (x)} (\tan (x) \sec (x)) d x$

Étape 1.20

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{5} (x)$ .

$\int \frac{\sec (x)}{\cos (x) \cos^{4} (x)} (\tan (x) \sec (x)) d x$

Étape 1.21

Séparez les fractions.

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} \cdot \frac{\sec (x)}{\cos (x)} (\tan (x) \sec (x)) d x$

Étape 1.22

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\cos (x)} (\tan (x) \sec (x)) d x$

Étape 1.23

Réécrivez $\frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ comme un produit.

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) (\tan (x) \sec (x)) d x$

Étape 1.24

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.24.1

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} (\sec (x) \frac{1}{\cos (x)}) (\tan (x) \sec (x)) d x$

Étape 1.24.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} (\sec (x) \sec (x)) (\tan (x) \sec (x)) d x$

Étape 1.24.3

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} (\sec^{1} (x) \sec (x)) (\tan (x) \sec (x)) d x$

Étape 1.24.4

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) (\tan (x) \sec (x)) d x$

Étape 1.24.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} {\sec (x)}^{1 + 1} (\tan (x) \sec (x)) d x$

Étape 1.24.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} \sec^{2} (x) (\tan (x) \sec (x)) d x$

Étape 1.25

Multipliez $\sec^{2} (x)$ par $\sec (x)$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.25.1

Déplacez $\sec (x)$ .

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} (\sec (x) \sec^{2} (x)) \tan (x) d x$

Étape 1.25.2

Multipliez $\sec (x)$ par $\sec^{2} (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.25.2.1

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x)) \tan (x) d x$

Étape 1.25.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} {\sec (x)}^{1 + 2} \tan (x) d x$

Étape 1.25.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} \sec^{3} (x) \tan (x) d x$

Étape 1.26

Associez $\frac{1}{\cos^{4} (x)}$ et $\sec^{3} (x)$ .

$\int \frac{\sec^{3} (x)}{\cos^{4} (x)} \tan (x) d x$

Étape 1.27

Factorisez $\cos^{3} (x)$ à partir de $\cos^{4} (x)$ .

$\int \frac{\sec^{3} (x)}{\cos^{3} (x) \cos (x)} \tan (x) d x$

Étape 1.28

Séparez les fractions.

$\int \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sec^{3} (x)}{\cos^{3} (x)} \tan (x) d x$

Étape 1.29

Additionnez $3$ et $3$ .

$\int \frac{1}{\cos (x)} \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

Étape 1.30

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\int \sec (x) \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

Étape 1.31

Multipliez $\sec (x)$ par $\sec^{6} (x)$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.31.1

Multipliez $\sec (x)$ par $\sec^{6} (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.31.1.1

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$\int \sec^{1} (x) \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

Étape 1.31.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int {\sec (x)}^{1 + 6} \tan (x) d x$

Étape 1.31.2

Additionnez $1$ et $6$ .

$\int \sec^{7} (x) \tan (x) d x$

Étape 2

Laissez $u = \sec (x)$ . Alors $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , donc $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Laissez $u = \sec (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Différenciez $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int u^{6} d u$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{6}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$\frac{1}{7} u^{7} + C$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sec (x)$ .

$\frac{1}{7} \sec^{7} (x) + C$