Calcul infinitésimal Exemples

$\int \sin (x) \sqrt{2 + 3 \cos (x)} d x$

Étape 1

Laissez $u = 2 + 3 \cos (x)$ . Alors $d u = - 3 \sin (x) d x$ , donc $- \frac{1}{3} d u = \sin (x) d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 2 + 3 \cos (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $2 + 3 \cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [2 + 3 \cos (x)]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 + 3 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 1.1.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.1.3.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$0 + 3 (- \sin (x))$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$0 - 3 \sin (x)$

Étape 1.1.4

Soustrayez $3 \sin (x)$ de $0$ .

$- 3 \sin (x)$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \sqrt{u} \frac{1}{- 3} d u$

Étape 2

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Étape 2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int \sqrt{u} (- \frac{1}{3}) d u$

Étape 2.2

Associez $\sqrt{u}$ et $\frac{1}{3}$ .

$\int - \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{3} \int \sqrt{u} d u)$

Étape 5

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Étape 7

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Étape 7.1

Réécrivez $- \frac{1}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ comme $- \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 7.2

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Étape 7.2.1

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 7.2.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$- \frac{2}{9} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 + 3 \cos (x)$ .

$- \frac{2}{9} {(2 + 3 \cos (x))}^{\frac{3}{2}} + C$