Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{π}^{3 π} \cot^{2} (\frac{x}{6}) d x$

Étape 1

Laissez $u = \frac{x}{6}$ . Alors $d u = \frac{1}{6} d x$ , donc $6 d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = \frac{x}{6}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\frac{x}{6}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{6}]$

Étape 1.1.2

Comme $\frac{1}{6}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{6}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{6} \cdot 1$

Étape 1.1.4

Multipliez $\frac{1}{6}$ par $1$ .

$\frac{1}{6}$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = \frac{x}{6}$ .

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

Étape 1.3

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = \frac{x}{6}$ .

$u_{upper} = \frac{3 π}{6}$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun à $3$ et $6$ .

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Étape 1.4.1

Factorisez $3$ à partir de $3 π$ .

$u_{upper} = \frac{3 (π)}{6}$

Étape 1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$u_{upper} = \frac{3 π}{3 \cdot 2}$

Étape 1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$u_{upper} = \frac{3 π}{3 \cdot 2}$

Étape 1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Étape 1.5

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Étape 1.6

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cot^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{6}} d u$

Étape 2

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Étape 2.1

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{6}$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cot^{2} (u) (1 \cdot 6) d u$

Étape 2.2

Multipliez $6$ par $1$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cot^{2} (u) \cdot 6 d u$

Étape 2.3

Déplacez $6$ à gauche de $\cot^{2} (u)$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 6 \cot^{2} (u) d u$

Étape 3

Comme $6$ est constant par rapport à $u$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$6 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cot^{2} (u) d u$

Étape 4

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\cot^{2} (u)$ comme $- 1 + \csc^{2} (u)$ .

$6 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} - 1 + \csc^{2} (u) d u$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$6 (\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} - 1 d u + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \csc^{2} (u) d u)$

Étape 6

Appliquez la règle de la constante.

$6 (- u]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \csc^{2} (u) d u)$

Étape 7

Comme la dérivée de $- \cot (u)$ est $\csc^{2} (u)$ , l’intégrale de $\csc^{2} (u)$ est $- \cot (u)$ .

$6 (- u]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + - \cot (u)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}})$

Étape 8

Associez $- u]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}$ et $- \cot (u)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}$ .

$6 (- u - \cot (u)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}})$

Étape 9

Évaluez $- u - \cot (u)$ sur $\frac{π}{2}$ et sur $\frac{π}{6}$ .

$6 (- \frac{π}{2} - \cot (\frac{π}{2}) - (- \frac{π}{6} - \cot (\frac{π}{6})))$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

La valeur exacte de $\cot (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$6 (- \frac{π}{2} - 0 - (- \frac{π}{6} - \cot (\frac{π}{6})))$

Étape 10.2

La valeur exacte de $\cot (\frac{π}{6})$ est $\sqrt{3}$ .

$6 (- \frac{π}{2} - 0 - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$

Étape 10.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$6 (- \frac{π}{2} + 0 - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$

Étape 10.4

Additionnez $- \frac{π}{2}$ et $0$ .

$6 (- \frac{π}{2} - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$

Étape 10.5

Pour écrire $- (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$6 (- \frac{π}{2} - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}) \cdot \frac{2}{2})$

Étape 10.6

Associez $- (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})$ et $\frac{2}{2}$ .

$6 (- \frac{π}{2} + \frac{- (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}) \cdot 2}{2})$

Étape 10.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$6 \frac{- π - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}) \cdot 2}{2}$

Étape 10.8

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$6 \frac{- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})}{2}$

Étape 10.9

Associez $6$ et $\frac{- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})}{2}$ .

$\frac{6 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))}{2}$

Étape 10.10

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 10.10.1

Factorisez $2$ à partir de $6 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$ .

$\frac{2 (3 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})))}{2}$

Étape 10.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.10.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (3 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})))}{2 (1)}$

Étape 10.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (3 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})))}{2 \cdot 1}$

Étape 10.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))}{1}$

Étape 10.10.2.4

Divisez $3 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$ par $1$ .

$3 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 (- π - 2 (- \frac{π}{6}) - 2 (- \sqrt{3}))$

Étape 11.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{π}{6}$ dans le numérateur.

$3 (- π - 2 \frac{- π}{6} - 2 (- \sqrt{3}))$

Étape 11.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$3 (- π + 2 (- 1) \frac{- π}{6} - 2 (- \sqrt{3}))$

Étape 11.2.3

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$3 (- π + 2 \cdot - 1 \frac{- π}{2 \cdot 3} - 2 (- \sqrt{3}))$

Étape 11.2.4

Annulez le facteur commun.

$3 (- π + 2 \cdot - 1 \frac{- π}{2 \cdot 3} - 2 (- \sqrt{3}))$

Étape 11.2.5

Réécrivez l’expression.

$3 (- π - \frac{- π}{3} - 2 (- \sqrt{3}))$

Étape 11.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$3 (- π - \frac{- π}{3} + 2 \sqrt{3})$

Étape 11.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 (- π - - \frac{π}{3} + 2 \sqrt{3})$

Étape 11.5

Multipliez $- - \frac{π}{3}$ .

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Étape 11.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$3 (- π + 1 \frac{π}{3} + 2 \sqrt{3})$

Étape 11.5.2

Multipliez $\frac{π}{3}$ par $1$ .

$3 (- π + \frac{π}{3} + 2 \sqrt{3})$

Étape 11.6

Pour écrire $- π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$3 (- π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3} + 2 \sqrt{3})$

Étape 11.7

Associez $- π$ et $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{- π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3} + 2 \sqrt{3})$

Étape 11.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 (\frac{- π \cdot 3 + π}{3} + 2 \sqrt{3})$

Étape 11.9

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$3 (\frac{- 3 π + π}{3} + 2 \sqrt{3})$

Étape 11.10

Additionnez $- 3 π$ et $π$ .

$3 (\frac{- 2 π}{3} + 2 \sqrt{3})$

Étape 11.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 (- \frac{2 π}{3} + 2 \sqrt{3})$

Étape 11.12

Appliquez la propriété distributive.

$3 (- \frac{2 π}{3}) + 3 (2 \sqrt{3})$

Étape 11.13

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 11.13.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2 π}{3}$ dans le numérateur.

$3 \frac{- 2 π}{3} + 3 (2 \sqrt{3})$

Étape 11.13.2

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{- 2 π}{3} + 3 (2 \sqrt{3})$

Étape 11.13.3

Réécrivez l’expression.

$- 2 π + 3 (2 \sqrt{3})$

Étape 11.14

Multipliez $2$ par $3$ .

$- 2 π + 6 \sqrt{3}$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- 2 π + 6 \sqrt{3}$

Forme décimale :

$4.10911953 \dots$