Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- π}^{π} \cos^{2} (x) d x$

Étape 1

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\cos^{2} (x)$ en $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$\int_{- π}^{π} \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Étape 2

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int_{- π}^{π} 1 + \cos (2 x) d x$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} (\int_{- π}^{π} d x + \int_{- π}^{π} \cos (2 x) d x)$

Étape 4

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} (x]_{- π}^{π} + \int_{- π}^{π} \cos (2 x) d x)$

Étape 5

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 5.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 5.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 5.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 (- π)$

Étape 5.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$u_{lower} = - 2 π$

Étape 5.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 π$

Étape 5.5

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = - 2 π$

$u_{upper} = 2 π$

Étape 5.6

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\frac{1}{2} (x]_{- π}^{π} + \int_{- 2 π}^{2 π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Étape 6

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x]_{- π}^{π} + \int_{- 2 π}^{2 π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Étape 7

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (x]_{- π}^{π} + \frac{1}{2} \int_{- 2 π}^{2 π} \cos (u) d u)$

Étape 8

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (x]_{- π}^{π} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- 2 π}^{2 π})$

Étape 9

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Évaluez $x$ sur $π$ et sur $- π$ .

$\frac{1}{2} ((π) + π + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- 2 π}^{2 π})$

Étape 9.2

Évaluez $\sin (u)$ sur $2 π$ et sur $- 2 π$ .

$\frac{1}{2} ((π) + π + \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (- 2 π)))$

Étape 9.3

Additionnez $π$ et $π$ .

$\frac{1}{2} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (2 π) - \sin (- 2 π)))$

Étape 10

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1.1.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{1}{2} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (0) - \sin (- 2 π)))$

Étape 10.1.1.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{2} (2 π + \frac{1}{2} (0 - \sin (- 2 π)))$

Étape 10.1.1.3

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{1}{2} (2 π + \frac{1}{2} (0 - \sin (0)))$

Étape 10.1.1.4

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{2} (2 π + \frac{1}{2} (0 - 0))$

Étape 10.1.1.5

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{1}{2} (2 π + \frac{1}{2} (0 + 0))$

Étape 10.1.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{1}{2} (2 π + \frac{1}{2} \cdot 0)$

Étape 10.1.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $0$ .

$\frac{1}{2} (2 π + 0)$

Étape 10.2

Additionnez $2 π$ et $0$ .

$\frac{1}{2} (2 π)$

Étape 10.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$\frac{1}{2} (2 (π))$

Étape 10.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} (2 π)$

Étape 10.3.3

Réécrivez l’expression.

$π$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$π$

Forme décimale :

$3.14159265 \dots$