Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{1 + 10 t^{7}}{7 t} d t$

Étape 1

Comme $\frac{1}{7}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{1}{7}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{7} \int \frac{1 + 10 t^{7}}{t} d t$

Étape 2

Remettez dans l’ordre $1$ et $10 t^{7}$ .

$\frac{1}{7} \int \frac{10 t^{7} + 1}{t} d t$

Étape 3

Divisez $10 t^{7} + 1$ par $t$ .

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Étape 3.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$t$

$0$

$10 t^{7}$

$0 t^{6}$

$0 t^{5}$

$0 t^{4}$

$0 t^{3}$

$0 t^{2}$

$0 t$

$1$

Étape 3.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $10 t^{7}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $t$ .

$10 t^{6}$

$t$

$0$

$10 t^{7}$

$0 t^{6}$

$0 t^{5}$

$0 t^{4}$

$0 t^{3}$

$0 t^{2}$

$0 t$

$1$

Étape 3.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$10 t^{6}$

$t$

$0$

$10 t^{7}$

$0 t^{6}$

$0 t^{5}$

$0 t^{4}$

$0 t^{3}$

$0 t^{2}$

$0 t$

$1$

$10 t^{7}$

$0$

Étape 3.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $10 t^{7} + 0$

$10 t^{6}$

$t$

$0$

$10 t^{7}$

$0 t^{6}$

$0 t^{5}$

$0 t^{4}$

$0 t^{3}$

$0 t^{2}$

$0 t$

$1$

$10 t^{7}$

$0$

Étape 3.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$10 t^{6}$

$t$

$0$

$10 t^{7}$

$0 t^{6}$

$0 t^{5}$

$0 t^{4}$

$0 t^{3}$

$0 t^{2}$

$0 t$

$1$

$10 t^{7}$

$0$

Étape 3.6

Extrayez le terme suivant du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$10 t^{6}$

$t$

$0$

$10 t^{7}$

$0 t^{6}$

$0 t^{5}$

$0 t^{4}$

$0 t^{3}$

$0 t^{2}$

$0 t$

$1$

$10 t^{7}$

$0$

$0 t^{5}$

$0 t^{4}$

Étape 3.7

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\frac{1}{7} \int 10 t^{6} + \frac{1}{t} d t$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{7} (\int 10 t^{6} d t + \int \frac{1}{t} d t)$

Étape 5

Comme $10$ est constant par rapport à $t$ , placez $10$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{7} (10 \int t^{6} d t + \int \frac{1}{t} d t)$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{6}$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{7} t^{7}$ .

$\frac{1}{7} (10 (\frac{1}{7} t^{7} + C) + \int \frac{1}{t} d t)$

Étape 7

L’intégrale de $\frac{1}{t}$ par rapport à $t$ est $\ln (| t |)$ .

$\frac{1}{7} (10 (\frac{1}{7} t^{7} + C) + \ln (| t |) + C)$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{7}$ et $t^{7}$ .

$\frac{1}{7} (10 (\frac{t^{7}}{7} + C) + \ln (| t |) + C)$

Étape 8.2

Simplifiez

$\frac{1}{7} (\frac{10 t^{7}}{7} + \ln (| t |)) + C$

Étape 8.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{7} (\frac{10}{7} t^{7} + \ln (| t |)) + C$