Calcul infinitésimal Exemples

$\int y + y \cos (x y) d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int y d x + \int y \cos (x y) d x$

Étape 2

Appliquez la règle de la constante.

$y x + C + \int y \cos (x y) d x$

Étape 3

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , placez $y$ en dehors de l’intégrale.

$y x + C + y \int \cos (x y) d x$

Étape 4

Laissez $u = x y$ . Alors $d u = y d x$ , donc $\frac{1}{y} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = x y$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $x y$ .

$\frac{d}{d x} [x y]$

Étape 4.1.2

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x y$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$y \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y \cdot 1$

Étape 4.1.4

Multipliez $y$ par $1$ .

$y$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$y x + C + y \int \cos (u) \frac{1}{y} d u$

Étape 5

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{y}$ .

$y x + C + y \int \frac{\cos (u)}{y} d u$

Étape 6

Comme $\frac{1}{y}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{y}$ en dehors de l’intégrale.

$y x + C + y (\frac{1}{y} \int \cos (u) d u)$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Associez $\frac{1}{y}$ et $y$ .

$y x + C + \frac{y}{y} \int \cos (u) d u$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun.

$y x + C + \frac{y}{y} \int \cos (u) d u$

Étape 7.2.2

Réécrivez l’expression.

$y x + C + 1 \int \cos (u) d u$

Étape 7.3

Multipliez $\int \cos (u) d u$ par $1$ .

$y x + C + \int \cos (u) d u$

Étape 8

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$y x + C + \sin (u) + C$

Étape 9

Simplifiez

$y x + \sin (u) + C$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x y$ .

$y x + \sin (x y) + C$