Calcul infinitésimal Exemples

$\int x \cot (x^{2}) \csc (x^{2}) d x$

Étape 1

Laissez $u = x^{2}$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \cot (u) \csc (u) \frac{1}{2} d u$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\cot (u)$ .

$\int \frac{\cot (u)}{2} \csc (u) d u$

Étape 2.2

Associez $\frac{\cot (u)}{2}$ et $\csc (u)$ .

$\int \frac{\cot (u) \csc (u)}{2} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \cot (u) \csc (u) d u$

Étape 4

Comme la dérivée de $- \csc (u)$ est $\cot (u) \csc (u)$ , l’intégrale de $\cot (u) \csc (u)$ est $- \csc (u)$ .

$\frac{1}{2} (- \csc (u) + C)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez

$\frac{1}{2} (- \csc (u)) + C$

Étape 5.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $\csc (u)$ .

$- \frac{\csc (u)}{2} + C$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$- \frac{\csc (x^{2})}{2} + C$

Étape 7

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{1}{2} \csc (x^{2}) + C$