Calcul infinitésimal Exemples

$\int y {(y^{4} - 2 y^{3} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} d y$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.1.1

Réécrivez $y^{4}$ comme ${(y^{2})}^{2}$ .

$\int y {({(y^{2})}^{2} - 2 y^{3} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} d y$

Étape 1.1.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 y^{3} = 2 \cdot y^{2} \cdot y$

Étape 1.1.3

Réécrivez le polynôme.

$\int y {({(y^{2})}^{2} - 2 \cdot y^{2} \cdot y + y^{2})}^{\frac{1}{2}} d y$

Étape 1.1.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = y^{2}$ et $b = y$ .

$\int y {({(y^{2} - y)}^{2})}^{\frac{1}{2}} d y$

Étape 1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y {(y^{2} - y)}^{2 (\frac{1}{2})} d y$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\int y {(y^{2} - y)}^{2 (\frac{1}{2})} d y$

Étape 1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\int y {(y^{2} - y)}^{1} d y$

Étape 1.4

Simplifiez

$\int y (y^{2} - y) d y$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int y \cdot y^{2} + y (- y) d y$

Étape 2.2

Remettez dans l’ordre $y$ et $- 1$ .

$\int y \cdot y^{2} - 1 \cdot y \cdot y d y$

Étape 2.3

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\int y^{1} y^{2} - 1 y \cdot y d y$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int y^{1 + 2} - 1 y \cdot y d y$

Étape 2.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$\int y^{3} - 1 y \cdot y d y$

Étape 2.6

Factorisez le signe négatif.

$\int y^{3} - (y \cdot y) d y$

Étape 2.7

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\int y^{3} - (y^{1} y) d y$

Étape 2.8

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\int y^{3} - (y^{1} y^{1}) d y$

Étape 2.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int y^{3} - y^{1 + 1} d y$

Étape 2.10

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int y^{3} - y^{2} d y$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int y^{3} d y + \int - y^{2} d y$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{3}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C + \int - y^{2} d y$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} y^{4} + C - \int y^{2} d y$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C - (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

Étape 7

Simplifiez

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} + C$