Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{5 \int_{0}^{5} 5.3 \sin^{2} (w t) d t}$

Étape 1

Comme $5.3$ est constant par rapport à $t$ , placez $5.3$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{5 (5.3 \int_{0}^{5} \sin^{2} (w t) d t)}$

Étape 2

Multipliez $5.3$ par $5$ .

$\frac{1}{26.5 \int_{0}^{5} \sin^{2} (w t) d t}$

Étape 3

Laissez $u_{1} = w t$ . Alors $d u_{1} = w d t$ , donc $\frac{1}{w} d u_{1} = d t$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 3.1

Laissez $u_{1} = w t$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $w t$ .

$\frac{d}{d t} [w t]$

Étape 3.1.2

Comme $w$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $w t$ par rapport à $t$ est $w \frac{d}{d t} [t]$ .

$w \frac{d}{d t} [t]$

Étape 3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$w \cdot 1$

Étape 3.1.4

Multipliez $w$ par $1$ .

$w$

Étape 3.2

Remplacez la limite inférieure pour $t$ dans $u_{1} = w t$ .

$u_{lower} = w \cdot 0$

Étape 3.3

Multipliez $w$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 3.4

Remplacez la limite supérieure pour $t$ dans $u_{1} = w t$ .

$u_{upper} = w \cdot 5$

Étape 3.5

Déplacez $5$ à gauche de $w$ .

$u_{upper} = 5 w$

Étape 3.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 5 w$

Étape 3.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ , $d u_{1}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\frac{1}{26.5 \int_{0}^{5 w} \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{w} d u_{1}}$

Étape 4

Associez $\sin^{2} (u_{1})$ et $\frac{1}{w}$ .

$\frac{1}{26.5 \int_{0}^{5 w} \frac{\sin^{2} (u_{1})}{w} d u_{1}}$

Étape 5

Comme $\frac{1}{w}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{w}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{26.5 (\frac{1}{w} \int_{0}^{5 w} \sin^{2} (u_{1}) d u_{1})}$

Étape 6

Associez $\frac{1}{w}$ et $26.5$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{w} \int_{0}^{5 w} \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}}$

Étape 7

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\sin^{2} (u_{1})$ en $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{w} \int_{0}^{5 w} \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}}$

Étape 8

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{\frac{26.5}{w} (\frac{1}{2} \int_{0}^{5 w} 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})}$

Étape 9

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{26.5}{w}$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} \int_{0}^{5 w} 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}}$

Étape 10

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (\int_{0}^{5 w} d u_{1} + \int_{0}^{5 w} - \cos (2 u_{1}) d u_{1})}$

Étape 11

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (u_{1}]_{0}^{5 w} + \int_{0}^{5 w} - \cos (2 u_{1}) d u_{1})}$

Étape 12

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (u_{1}]_{0}^{5 w} - \int_{0}^{5 w} \cos (2 u_{1}) d u_{1})}$

Étape 13

Laissez $u_{2} = 2 u_{1}$ . Alors $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 13.1

Laissez $u_{2} = 2 u_{1}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 13.1.1

Différenciez $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Étape 13.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $2 u_{1}$ par rapport à $u_{1}$ est $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Étape 13.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 13.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 13.2

Remplacez la limite inférieure pour $u_{1}$ dans $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Étape 13.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 13.4

Remplacez la limite supérieure pour $u_{1}$ dans $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{upper} = 2 (5 w)$

Étape 13.5

Multipliez $5$ par $2$ .

$u_{upper} = 10 w$

Étape 13.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 10 w$

Étape 13.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ , $d u_{2}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (u_{1}]_{0}^{5 w} - \int_{0}^{10 w} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})}$

Étape 14

Associez $\cos (u_{2})$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (u_{1}]_{0}^{5 w} - \int_{0}^{10 w} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})}$

Étape 15

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (u_{1}]_{0}^{5 w} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{10 w} \cos (u_{2}) d u_{2}))}$

Étape 16

L’intégrale de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (u_{1}]_{0}^{5 w} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{10 w})}$

Étape 17

Associez $\sin (u_{2})]_{0}^{10 w}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (u_{1}]_{0}^{5 w} - \frac{\sin (u_{2})]_{0}^{10 w}}{2})}$

Étape 18

Remplacez et simplifiez.

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Étape 18.1

Évaluez $u_{1}$ sur $5 w$ et sur $0$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} ((5 w) + 0 - \frac{\sin (u_{2})]_{0}^{10 w}}{2})}$

Étape 18.2

Évaluez $\sin (u_{2})$ sur $10 w$ et sur $0$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} ((5 w) + 0 - \frac{(\sin (10 w)) - \sin (0)}{2})}$

Étape 18.3

Additionnez $5 w$ et $0$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (5 w - \frac{\sin (10 w) - \sin (0)}{2})}$

Étape 19

Simplifiez

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Étape 19.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (5 w - \frac{\sin (10 w) - 0}{2})}$

Étape 19.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (5 w - \frac{\sin (10 w) + 0}{2})}$

Étape 19.3

Additionnez $\sin (10 w)$ et $0$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (5 w - \frac{\sin (10 w)}{2})}$

Étape 20

Simplifiez

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Étape 20.1

Factorisez $26.5$ à partir de $26.5$ .

$\frac{1}{\frac{26.5 (1)}{2 w} (5 w - \frac{\sin (10 w)}{2})}$

Étape 20.2

Factorisez $2$ à partir de $2 w$ .

$\frac{1}{\frac{26.5 (1)}{2 (w)} (5 w - \frac{\sin (10 w)}{2})}$

Étape 20.3

Séparez les fractions.

$\frac{1}{\frac{26.5}{2} \cdot \frac{1}{w} (5 w - \frac{\sin (10 w)}{2})}$

Étape 20.4

Divisez $26.5$ par $2$ .

$\frac{1}{13.25 \frac{1}{w} (5 w - \frac{\sin (10 w)}{2})}$

Étape 20.5

Associez $13.25$ et $\frac{1}{w}$ .

$\frac{1}{\frac{13.25}{w} (5 w - \frac{\sin (10 w)}{2})}$

Étape 20.6

Factorisez $\frac{13.25}{w}$ à partir de $\frac{1}{\frac{13.25}{w} (5 w - \frac{\sin (10 w)}{2})}$ .

$\frac{w}{13.25} \cdot \frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

Étape 20.7

Multipliez par $1$ .

$\frac{1 w}{13.25} \cdot \frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

Étape 20.8

Factorisez $13.25$ à partir de $13.25$ .

$\frac{1 w}{13.25 (1)} \cdot \frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

Étape 20.9

Séparez les fractions.

$\frac{1}{13.25} \cdot \frac{w}{1} \frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

Étape 20.10

Divisez $1$ par $13.25$ .

$0.07547169 \frac{w}{1} \frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

Étape 20.11

Divisez $w$ par $1$ .

$0.07547169 w \frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

Étape 20.12

Multipliez $0.07547169 w \frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$ .

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Étape 20.12.1

Associez $0.07547169$ et $\frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$ .

$w \frac{0.07547169}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

Étape 20.12.2

Associez $w$ et $\frac{0.07547169}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$ .

$\frac{w \cdot 0.07547169}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

Étape 20.13

Déplacez $0.07547169$ à gauche de $w$ .

$\frac{0.07547169 w}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

Étape 20.14

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{0.07547169 w}{5 w - \frac{1}{2} \sin (10 w)}$

Étape 21

Associez $\sin (10 w)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0.07547169 w}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$