Calcul infinitésimal Exemples

$\int t e^{- 7 t^{2}} d t$

Étape 1

Laissez $u = - 7 t^{2}$ . Alors $d u = - 14 t d t$ , donc $- \frac{1}{14} d u = t d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = - 7 t^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $- 7 t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [- 7 t^{2}]$

Étape 1.1.2

Comme $- 7$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 7 t^{2}$ par rapport à $t$ est $- 7 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$- 7 \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 7 (2 t)$

Étape 1.1.4

Multipliez $2$ par $- 7$ .

$- 14 t$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{- 14} d u$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int e^{u} (- \frac{1}{14}) d u$

Étape 2.2

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{14}$ .

$\int - \frac{e^{u}}{14} d u$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{e^{u}}{14} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{14}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{14}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{14} \int e^{u} d u)$

Étape 5

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$- \frac{1}{14} (e^{u} + C)$

Étape 6

Simplifiez

$- \frac{1}{14} e^{u} + C$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 7 t^{2}$ .

$- \frac{1}{14} e^{- 7 t^{2}} + C$