Calcul infinitésimal Exemples

$\sqrt{2} \int_{- \frac{π}{6}}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (y) d y$

Étape 1

Comme la dérivée de $\tan (y)$ est $\sec^{2} (y)$ , l’intégrale de $\sec^{2} (y)$ est $\tan (y)$ .

$\sqrt{2} \tan (y)]_{- \frac{π}{6}}^{\frac{π}{6}}$

Étape 2

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1

Évaluez $\tan (y)$ sur $\frac{π}{6}$ et sur $- \frac{π}{6}$ .

$\sqrt{2} (\tan (\frac{π}{6}) - \tan (- \frac{π}{6}))$

Étape 2.2

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\sqrt{2} (\frac{\sqrt{3}}{3} - \tan (- \frac{π}{6}))$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\sqrt{2} (\frac{\sqrt{3}}{3} - \tan (\frac{11 π}{6}))$

Étape 2.3.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car la tangente est négative dans le quatrième quadrant.

$\sqrt{2} (\frac{\sqrt{3}}{3} - - \tan (\frac{π}{6}))$

Étape 2.3.3

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\sqrt{2} (\frac{\sqrt{3}}{3} - - \frac{\sqrt{3}}{3})$

Étape 2.3.4

Multipliez $- - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Étape 2.3.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\sqrt{2} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1 \frac{\sqrt{3}}{3})$

Étape 2.3.4.2

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{3}$ par $1$ .

$\sqrt{2} (\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3})$

Étape 2.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{2} \frac{\sqrt{3} + \sqrt{3}}{3}$

Étape 2.3.6

Additionnez $\sqrt{3}$ et $\sqrt{3}$ .

$\sqrt{2} \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 2.3.7

Multipliez $\sqrt{2} \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

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Étape 2.3.7.1

Associez $\sqrt{2}$ et $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\sqrt{2} (2 \sqrt{3})}{3}$

Étape 2.3.7.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{2 \sqrt{2 \cdot 3}}{3}$

Étape 2.3.7.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{3}$

Étape 3

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{2 \sqrt{6}}{3}$

Forme décimale :

$1.63299316 \dots$