Calcul infinitésimal Exemples

$\int x (e^{x^{2}} + 2) d x$

Étape 1

Laissez $u = x^{2}$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int (e^{u} + 2) \frac{1}{2} d u$

Étape 2

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int e^{u} + 2 d u$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} (\int e^{u} d u + \int 2 d u)$

Étape 4

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C + \int 2 d u)$

Étape 5

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} (e^{u} + C + 2 u + C)$

Étape 6

Simplifiez

$\frac{1}{2} (e^{u} + 2 u) + C$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (e^{x^{2}} + 2 x^{2}) + C$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} e^{x^{2}} + \frac{1}{2} (2 x^{2}) + C$

Étape 8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{x^{2}}$ .

$\frac{e^{x^{2}}}{2} + \frac{1}{2} (2 x^{2}) + C$

Étape 8.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\frac{e^{x^{2}}}{2} + \frac{1}{2} (2 (x^{2})) + C$

Étape 8.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{x^{2}}}{2} + \frac{1}{2} (2 x^{2}) + C$

Étape 8.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{e^{x^{2}}}{2} + x^{2} + C$

Étape 9

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} e^{x^{2}} + x^{2} + C$