Calcul infinitésimal Exemples

$\int x {(x - 7)}^{5} d x$

Étape 1

Laissez $u = x - 7$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x - 7$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x - 7$ .

$\frac{d}{d x} [x - 7]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 7]$

Étape 1.1.4

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int (u + 7) u^{5} d u$

Étape 2

Multipliez $(u + 7) u^{5}$ .

$\int u \cdot u^{5} + 7 u^{5} d u$

Étape 3

Multipliez $u$ par $u^{5}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1

Multipliez $u$ par $u^{5}$ .

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Étape 3.1.1

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int u^{1} u^{5} + 7 u^{5} d u$

Étape 3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int u^{1 + 5} + 7 u^{5} d u$

Étape 3.2

Additionnez $1$ et $5$ .

$\int u^{6} + 7 u^{5} d u$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int u^{6} d u + \int 7 u^{5} d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{6}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$\frac{1}{7} u^{7} + C + \int 7 u^{5} d u$

Étape 6

Comme $7$ est constant par rapport à $u$ , placez $7$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{7} u^{7} + C + 7 \int u^{5} d u$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{5}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{7} u^{7} + C + 7 (\frac{1}{6} u^{6} + C)$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Simplifiez

$\frac{1}{7} u^{7} + 7 (\frac{1}{6}) u^{6} + C$

Étape 8.2

Associez $7$ et $\frac{1}{6}$ .

$\frac{1}{7} u^{7} + \frac{7}{6} u^{6} + C$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 7$ .

$\frac{1}{7} {(x - 7)}^{7} + \frac{7}{6} {(x - 7)}^{6} + C$