Calcul infinitésimal Exemples

$\int x \sqrt[7]{81 + x^{2}} d x$

Étape 1

Laissez $u = 81 + x^{2}$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 81 + x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $81 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [81 + x^{2}]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $81 + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [81] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [81] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3

Comme $81$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $81$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Étape 1.1.5

Additionnez $0$ et $2 x$ .

$2 x$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \sqrt[7]{u} \frac{1}{2} d u$

Étape 2

Associez $\sqrt[7]{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sqrt[7]{u}}{2} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \sqrt[7]{u} d u$

Étape 4

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[7]{u}$ comme $u^{\frac{1}{7}}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{7}} d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{7}}$ par rapport à $u$ est $\frac{7}{8} u^{\frac{8}{7}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{7}{8} u^{\frac{8}{7}} + C)$

Étape 6

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Étape 6.1

Réécrivez $\frac{1}{2} (\frac{7}{8} u^{\frac{8}{7}} + C)$ comme $\frac{1}{2} \cdot \frac{7}{8} u^{\frac{8}{7}} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{7}{8} u^{\frac{8}{7}} + C$

Étape 6.2

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Étape 6.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{7}{8}$ .

$\frac{7}{2 \cdot 8} u^{\frac{8}{7}} + C$

Étape 6.2.2

Multipliez $2$ par $8$ .

$\frac{7}{16} u^{\frac{8}{7}} + C$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $81 + x^{2}$ .

$\frac{7}{16} {(81 + x^{2})}^{\frac{8}{7}} + C$