Calcul infinitésimal Exemples

$\int x \sqrt[3]{x - 1} d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = \sqrt[3]{x - 1}$ .

$x (\frac{3}{4} {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}) - \int \frac{3}{4} {(x - 1)}^{\frac{4}{3}} d x$

Étape 2

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Étape 2.1

Associez $\frac{3}{4}$ et ${(x - 1)}^{\frac{4}{3}}$ .

$x \frac{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}{4} - \int \frac{3}{4} {(x - 1)}^{\frac{4}{3}} d x$

Étape 2.2

Associez $x$ et $\frac{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}{4}$ .

$\frac{x (3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \int \frac{3}{4} {(x - 1)}^{\frac{4}{3}} d x$

Étape 3

Comme $\frac{3}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{3}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{x (3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - (\frac{3}{4} \int {(x - 1)}^{\frac{4}{3}} d x)$

Étape 4

Laissez $u = x - 1$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = x - 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.1.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 4.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{x (3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} \int u^{\frac{4}{3}} d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{4}{3}}$ par rapport à $u$ est $\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}}$ .

$\frac{x (3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} (\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C)$

Étape 6

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Étape 6.1

Réécrivez $\frac{x (3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} (\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C)$ comme $\frac{3}{4} x {(x - 1)}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C$ .

$\frac{3}{4} x {(x - 1)}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C$

Étape 6.2

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Étape 6.2.1

Associez $\frac{3}{4}$ et $x$ .

$\frac{3 x}{4} {(x - 1)}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C$

Étape 6.2.2

Associez $\frac{3 x}{4}$ et ${(x - 1)}^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3 x {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C$

Étape 6.2.3

Multipliez $\frac{3}{7}$ par $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3 x {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 \cdot 3}{7 \cdot 4} u^{\frac{7}{3}} + C$

Étape 6.2.4

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{3 x {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{9}{7 \cdot 4} u^{\frac{7}{3}} + C$

Étape 6.2.5

Multipliez $7$ par $4$ .

$\frac{3 x {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{9}{28} u^{\frac{7}{3}} + C$

Étape 6.2.6

Pour écrire $- \frac{9}{28} u^{\frac{7}{3}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3 x {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{9}{28} u^{\frac{7}{3}} \cdot \frac{4}{4} + C$

Étape 6.2.7

Associez $- \frac{9}{28} u^{\frac{7}{3}}$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3 x {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}{4} + \frac{- \frac{9}{28} u^{\frac{7}{3}} \cdot 4}{4} + C$

Étape 6.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 x {(x - 1)}^{\frac{4}{3}} - \frac{9}{28} u^{\frac{7}{3}} \cdot 4}{4} + C$

Étape 6.2.9

Associez $u^{\frac{7}{3}}$ et $\frac{9}{28}$ .

$\frac{3 x {(x - 1)}^{\frac{4}{3}} - \frac{u^{\frac{7}{3}} \cdot 9}{28} \cdot 4}{4} + C$

Étape 6.2.10

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{3 x {(x - 1)}^{\frac{4}{3}} - 4 \frac{u^{\frac{7}{3}} \cdot 9}{28}}{4} + C$

Étape 6.2.11

Associez $- 4$ et $\frac{u^{\frac{7}{3}} \cdot 9}{28}$ .

$\frac{3 x {(x - 1)}^{\frac{4}{3}} + \frac{- 4 (u^{\frac{7}{3}} \cdot 9)}{28}}{4} + C$

Étape 6.2.12

Multipliez $9$ par $- 4$ .

$\frac{3 x {(x - 1)}^{\frac{4}{3}} + \frac{- 36 u^{\frac{7}{3}}}{28}}{4} + C$

Étape 6.2.13

Factorisez $4$ à partir de $- 36 u^{\frac{7}{3}}$ .

$\frac{3 x {(x - 1)}^{\frac{4}{3}} + \frac{4 (- 9 u^{\frac{7}{3}})}{28}}{4} + C$

Étape 6.2.14

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.14.1

Factorisez $4$ à partir de $28$ .

$\frac{3 x {(x - 1)}^{\frac{4}{3}} + \frac{4 (- 9 u^{\frac{7}{3}})}{4 (7)}}{4} + C$

Étape 6.2.14.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x {(x - 1)}^{\frac{4}{3}} + \frac{4 (- 9 u^{\frac{7}{3}})}{4 \cdot 7}}{4} + C$

Étape 6.2.14.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 x {(x - 1)}^{\frac{4}{3}} + \frac{- 9 u^{\frac{7}{3}}}{7}}{4} + C$

Étape 6.2.15

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{3 x {(x - 1)}^{\frac{4}{3}} - \frac{9 u^{\frac{7}{3}}}{7}}{4} + C$

Étape 6.2.16

Pour écrire $3 x {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7}{7}$ .

$\frac{3 x {(x - 1)}^{\frac{4}{3}} \cdot \frac{7}{7} - \frac{9 u^{\frac{7}{3}}}{7}}{4} + C$

Étape 6.2.17

Associez $3 x {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}$ et $\frac{7}{7}$ .

$\frac{\frac{3 x {(x - 1)}^{\frac{4}{3}} \cdot 7}{7} - \frac{9 u^{\frac{7}{3}}}{7}}{4} + C$

Étape 6.2.18

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{3 x {(x - 1)}^{\frac{4}{3}} \cdot 7 - 9 u^{\frac{7}{3}}}{7}}{4} + C$

Étape 6.2.19

Multipliez $7$ par $3$ .

$\frac{\frac{21 x {(x - 1)}^{\frac{4}{3}} - 9 u^{\frac{7}{3}}}{7}}{4} + C$

Étape 6.2.20

Réécrivez $\frac{\frac{21 x {(x - 1)}^{\frac{4}{3}} - 9 u^{\frac{7}{3}}}{7}}{4}$ comme un produit.

$\frac{21 x {(x - 1)}^{\frac{4}{3}} - 9 u^{\frac{7}{3}}}{7} \cdot \frac{1}{4} + C$

Étape 6.2.21

Multipliez $\frac{21 x {(x - 1)}^{\frac{4}{3}} - 9 u^{\frac{7}{3}}}{7}$ par $\frac{1}{4}$ .

$\frac{21 x {(x - 1)}^{\frac{4}{3}} - 9 u^{\frac{7}{3}}}{7 \cdot 4} + C$

Étape 6.2.22

Multipliez $7$ par $4$ .

$\frac{21 x {(x - 1)}^{\frac{4}{3}} - 9 u^{\frac{7}{3}}}{28} + C$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 1$ .

$\frac{21 x {(x - 1)}^{\frac{4}{3}} - 9 {(x - 1)}^{\frac{7}{3}}}{28} + C$

Étape 8

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{28} (21 x {(x - 1)}^{\frac{4}{3}} - 9 {(x - 1)}^{\frac{7}{3}}) + C$