Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{4} \sin^{2} (x) d x$

Étape 1

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\sin^{2} (x)$ en $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$\int_{0}^{4} \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

Étape 2

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{4} 1 - \cos (2 x) d x$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} (\int_{0}^{4} d x + \int_{0}^{4} - \cos (2 x) d x)$

Étape 4

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{4} + \int_{0}^{4} - \cos (2 x) d x)$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{4} - \int_{0}^{4} \cos (2 x) d x)$

Étape 6

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 6.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 6.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 6.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 6.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Étape 6.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 6.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 4$

Étape 6.5

Multipliez $2$ par $4$ .

$u_{upper} = 8$

Étape 6.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 8$

Étape 6.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{4} - \int_{0}^{8} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Étape 7

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{4} - \int_{0}^{8} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Étape 8

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{4} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{8} \cos (u) d u))$

Étape 9

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{4} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{8})$

Étape 10

Remplacez et simplifiez.

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Étape 10.1

Évaluez $x$ sur $4$ et sur $0$ .

$\frac{1}{2} ((4) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{8})$

Étape 10.2

Évaluez $\sin (u)$ sur $8$ et sur $0$ .

$\frac{1}{2} ((4) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (8)) - \sin (0)))$

Étape 10.3

Additionnez $4$ et $0$ .

$\frac{1}{2} (4 - \frac{1}{2} (\sin (8) - \sin (0)))$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{2} (4 - \frac{1}{2} (\sin (8) - 0))$

Étape 11.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{1}{2} (4 - \frac{1}{2} (\sin (8) + 0))$

Étape 11.3

Additionnez $\sin (8)$ et $0$ .

$\frac{1}{2} (4 - \frac{1}{2} \sin (8))$

Étape 11.4

Associez $\sin (8)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (4 - \frac{\sin (8)}{2})$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Évaluez $\sin (8)$ .

$\frac{1}{2} (4 - \frac{0.98935824}{2})$

Étape 12.2

Divisez $0.98935824$ par $2$ .

$\frac{1}{2} (4 - 1 \cdot 0.49467912)$

Étape 12.3

Multipliez $- 1$ par $0.49467912$ .

$\frac{1}{2} (4 - 0.49467912)$

Étape 12.4

Soustrayez $0.49467912$ de $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot 3.50532087$

Étape 12.5

Associez $\frac{1}{2}$ et $3.50532087$ .

$\frac{3.50532087}{2}$

Étape 12.6

Divisez $3.50532087$ par $2$ .

$1.75266043$