Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 5 \sec (x) \tan (x) d x$

Étape 1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$5 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec (x) \tan (x) d x$

Étape 2

Comme la dérivée de $\sec (x)$ est $\sec (x) \tan (x)$ , l’intégrale de $\sec (x) \tan (x)$ est $\sec (x)$ .

$5 (\sec (x)]_{0}^{\frac{π}{4}})$

Étape 3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1

Évaluez $\sec (x)$ sur $\frac{π}{4}$ et sur $0$ .

$5 (\sec (\frac{π}{4}) - \sec (0))$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

La valeur exacte de $\sec (\frac{π}{4})$ est $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$5 (\frac{2}{\sqrt{2}} - \sec (0))$

Étape 3.2.2

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$5 (\frac{2}{\sqrt{2}} - 1 \cdot 1)$

Étape 3.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$5 (\frac{2}{\sqrt{2}} - 1)$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 \frac{2}{\sqrt{2}} + 5 \cdot - 1$

Étape 3.3.2

Multipliez $5 \frac{2}{\sqrt{2}}$ .

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Étape 3.3.2.1

Associez $5$ et $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{5 \cdot 2}{\sqrt{2}} + 5 \cdot - 1$

Étape 3.3.2.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{10}{\sqrt{2}} + 5 \cdot - 1$

Étape 3.3.3

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{10}{\sqrt{2}} - 5$

Étape 3.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.1

Multipliez $\frac{10}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{10}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} - 5$

Étape 3.4.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.2.1

Multipliez $\frac{10}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{10 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} - 5$

Étape 3.4.2.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{10 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} - 5$

Étape 3.4.2.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{10 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} - 5$

Étape 3.4.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{10 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} - 5$

Étape 3.4.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{10 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} - 5$

Étape 3.4.2.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 3.4.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{10 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} - 5$

Étape 3.4.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{10 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - 5$

Étape 3.4.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{10 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} - 5$

Étape 3.4.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{10 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} - 5$

Étape 3.4.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{10 \sqrt{2}}{2^{1}} - 5$

Étape 3.4.2.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{10 \sqrt{2}}{2} - 5$

Étape 3.4.3

Annulez le facteur commun à $10$ et $2$ .

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Étape 3.4.3.1

Factorisez $2$ à partir de $10 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (5 \sqrt{2})}{2} - 5$

Étape 3.4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (5 \sqrt{2})}{2 (1)} - 5$

Étape 3.4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (5 \sqrt{2})}{2 \cdot 1} - 5$

Étape 3.4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 \sqrt{2}}{1} - 5$

Étape 3.4.3.2.4

Divisez $5 \sqrt{2}$ par $1$ .

$5 \sqrt{2} - 5$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$5 \sqrt{2} - 5$

Forme décimale :

$2.07106781 \dots$