Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 4 \sin (x) \cos (x) d x$

Étape 1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin (x) \cos (x) d x$

Étape 2

Laissez $u = \sin (x)$ . Alors $d u = \cos (x) d x$ , donc $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = \sin (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Étape 2.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = \sin (x)$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Étape 2.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 2.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = \sin (x)$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{4})$

Étape 2.5

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 2.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 2.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$4 \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} u d u$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}})$

Étape 4

Associez $\frac{1}{2}$ et $u^{2}$ .

$4 (\frac{u^{2}}{2}]_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}})$

Étape 5

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.1

Évaluez $\frac{u^{2}}{2}$ sur $\frac{\sqrt{2}}{2}$ et sur $0$ .

$4 ((\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$4 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2} - \frac{0}{2})$

Étape 5.2.2

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 5.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$4 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Étape 5.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$4 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Étape 5.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$4 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Étape 5.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$4 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2} - \frac{0}{1})$

Étape 5.2.2.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$4 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2} - 0)$

Étape 5.2.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$4 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2} + 0)$

Étape 5.2.4

Additionnez $\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2}$ et $0$ .

$4 \frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2 (2) \frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2}$

Étape 6.1.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 2 \frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2}$

Étape 6.1.3

Réécrivez l’expression.

$2 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 6.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$

Étape 6.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2^{2}$ .

$2 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.3.2

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2}$

Étape 6.4

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 6.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

Étape 6.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

Étape 6.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2}$

Étape 6.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2}$

Étape 6.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2^{1}}{2}$

Étape 6.4.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{2}{2}$

Étape 6.5

Divisez $2$ par $2$ .

$1$