Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 2 \sin (π - x) d x$

Étape 1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin (π - x) d x$

Étape 2

Laissez $u = π - x$ . Alors $d u = - d x$ , donc $- d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Laissez $u = π - x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Différenciez $π - x$ .

$\frac{d}{d x} [π - x]$

Étape 2.1.2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $π - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [π] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [π] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.1.2.2

Comme $π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $π$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 - 1$

Étape 2.1.4

Soustrayez $1$ de $0$ .

$- 1$

Étape 2.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = π - x$ .

$u_{lower} = π - 0$

Étape 2.3

Soustrayez $0$ de $π$ .

$u_{lower} = π$

Étape 2.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = π - x$ .

$u_{upper} = π - \frac{π}{4}$

Étape 2.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$u_{upper} = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 2.5.2

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$u_{upper} = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 2.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$u_{upper} = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Étape 2.5.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.4.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$u_{upper} = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Étape 2.5.4.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$u_{upper} = \frac{3 π}{4}$

Étape 2.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = π$

$u_{upper} = \frac{3 π}{4}$

Étape 2.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$2 \int_{π}^{\frac{3 π}{4}} - \sin (u) d u$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$2 (- \int_{π}^{\frac{3 π}{4}} \sin (u) d u)$

Étape 4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 \int_{π}^{\frac{3 π}{4}} \sin (u) d u$

Étape 5

L’intégrale de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $- \cos (u)$ .

$- 2 (- \cos (u)]_{π}^{\frac{3 π}{4}})$

Étape 6

Évaluez $- \cos (u)$ sur $\frac{3 π}{4}$ et sur $π$ .

$- 2 (- \cos (\frac{3 π}{4}) + \cos (π))$

Étape 7

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$- 2 (- - \cos (\frac{π}{4}) + \cos (π))$

Étape 7.1.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 (- - \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (π))$

Étape 7.1.3

Multipliez $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- 2 (1 \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (π))$

Étape 7.1.3.2

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $1$ .

$- 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (π))$

Étape 7.1.4

$- 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (0))$

Étape 7.1.5

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} - 1 \cdot 1)$

Étape 7.1.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} - 1)$

Étape 7.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 \frac{\sqrt{2}}{2} - 2 \cdot - 1$

Étape 7.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{\sqrt{2}}{2} - 2 \cdot - 1$

Étape 7.3.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{2}}{2} - 2 \cdot - 1$

Étape 7.3.3

Réécrivez l’expression.

$- \sqrt{2} - 2 \cdot - 1$

Étape 7.4

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$- \sqrt{2} + 2$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \sqrt{2} + 2$

Forme décimale :

$0.58578643 \dots$