Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{π}{8}} \frac{\sec^{2} (2 x)}{3 + \tan (2 x)} d x$

Étape 1

Laissez $u_{2} = 3 + \tan (2 x)$ . Alors $d u_{2} = 2 \sec^{2} (2 x) d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = \sec^{2} (2 x) d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 1.1

Laissez $u_{2} = 3 + \tan (2 x)$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $3 + \tan (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [3 + \tan (2 x)]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 + \tan (2 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$

Étape 1.1.2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ .

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Étape 1.1.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 1.1.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 x$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.3.1.2

La dérivée de $\tan (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\sec^{2} (u_{1})$ .

$0 + \sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$0 + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + \sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + \sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)$

Étape 1.1.3.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$0 + \sec^{2} (2 x) \cdot 2$

Étape 1.1.3.5

Déplacez $2$ à gauche de $\sec^{2} (2 x)$ .

$0 + 2 \sec^{2} (2 x)$

Étape 1.1.4

Additionnez $0$ et $2 \sec^{2} (2 x)$ .

$2 \sec^{2} (2 x)$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u_{2} = 3 + \tan (2 x)$ .

$u_{lower} = 3 + \tan (2 \cdot 0)$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$u_{lower} = 3 + \tan (0)$

Étape 1.3.1.2

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$u_{lower} = 3 + 0$

Étape 1.3.2

Additionnez $3$ et $0$ .

$u_{lower} = 3$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u_{2} = 3 + \tan (2 x)$ .

$u_{upper} = 3 + \tan (2 \frac{π}{8})$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.5.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$u_{upper} = 3 + \tan (2 \frac{π}{2 (4)})$

Étape 1.5.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$u_{upper} = 3 + \tan (2 \frac{π}{2 \cdot 4})$

Étape 1.5.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$u_{upper} = 3 + \tan (\frac{π}{4})$

Étape 1.5.1.2

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{4})$ est $1$ .

$u_{upper} = 3 + 1$

Étape 1.5.2

Additionnez $3$ et $1$ .

$u_{upper} = 4$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 4$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ , $d u_{2}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{3}^{4} \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{1}{u_{2}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\int_{3}^{4} \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Étape 2.2

Déplacez $2$ à gauche de $u_{2}$ .

$\int_{3}^{4} \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int_{3}^{4} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 4

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u_{2} |)]_{3}^{4}$

Étape 5

Évaluez $\ln (| u_{2} |)$ sur $4$ et sur $3$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| 4 |) - \ln (| 3 |))$

Étape 6

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Étape 6.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})$

Étape 6.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})}{2}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $4$ est $4$ .

$\frac{\ln (\frac{4}{| 3 |})}{2}$

Étape 7.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $3$ est $3$ .

$\frac{\ln (\frac{4}{3})}{2}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\ln (\frac{4}{3})}{2}$

Forme décimale :

$0.14384103 \dots$