Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \cos^{- 5} (2 x) \sin (2 x) d x$

Étape 1

Laissez $u_{2} = \cos (2 x)$ . Alors $d u_{2} = - 2 \sin (2 x) d x$ , donc $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 x) d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 1.1

Laissez $u_{2} = \cos (2 x)$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\cos (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.2.2

La dérivée de $\cos (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.1.3.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \cdot 1$

Étape 1.1.3.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2 \sin (2 x)$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u_{2} = \cos (2 x)$ .

$u_{lower} = \cos (2 \cdot 0)$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Étape 1.3.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u_{2} = \cos (2 x)$ .

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{6})$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.5.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{2 (3)})$

Étape 1.5.1.2

Annulez le facteur commun.

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Étape 1.5.1.3

Réécrivez l’expression.

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{3})$

Étape 1.5.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ , $d u_{2}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} {u_{2}}^{- 5} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} {u_{2}}^{- 5} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Étape 2.2

Associez ${u_{2}}^{- 5}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} - \frac{{u_{2}}^{- 5}}{2} d u_{2}$

Étape 2.3

Placez ${u_{2}}^{- 5}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 {u_{2}}^{5}} d u_{2}$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int_{1}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 {u_{2}}^{5}} d u_{2}$

Étape 4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{{u_{2}}^{5}} d u_{2})$

Étape 5

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 5.1

Retirez ${u_{2}}^{5}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{1}{2}} {({u_{2}}^{5})}^{- 1} d u_{2}$

Étape 5.2

Multipliez les exposants dans ${({u_{2}}^{5})}^{- 1}$ .

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Étape 5.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{1}{2}} {u_{2}}^{5 \cdot - 1} d u_{2}$

Étape 5.2.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{1}{2}} {u_{2}}^{- 5} d u_{2}$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{2}}^{- 5}$ par rapport à $u_{2}$ est $- \frac{1}{4} {u_{2}}^{- 4}$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{4} {u_{2}}^{- 4}]_{1}^{\frac{1}{2}}$

Étape 7

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.1

Évaluez $- \frac{1}{4} {u_{2}}^{- 4}$ sur $\frac{1}{2}$ et sur $1$ .

$- \frac{1}{2} ((- \frac{1}{4} {(\frac{1}{2})}^{- 4}) + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Étape 7.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1

Modifiez le signe de l’exposant en réécrivant la base comme sa réciproque.

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{4} \cdot 2^{4} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Étape 7.2.2

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{4} \cdot 16 + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Étape 7.2.3

Multipliez $16$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{2} (- 16 (\frac{1}{4}) + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Étape 7.2.4

Associez $- 16$ et $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{- 16}{4} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Étape 7.2.5

Annulez le facteur commun à $- 16$ et $4$ .

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Étape 7.2.5.1

Factorisez $4$ à partir de $- 16$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{4 \cdot - 4}{4} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Étape 7.2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.5.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{4 \cdot - 4}{4 (1)} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Étape 7.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{2} (\frac{4 \cdot - 4}{4 \cdot 1} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Étape 7.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{2} (\frac{- 4}{1} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Étape 7.2.5.2.4

Divisez $- 4$ par $1$ .

$- \frac{1}{2} (- 4 + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Étape 7.2.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{1}{2} (- 4 + \frac{1}{4} \cdot 1)$

Étape 7.2.7

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$- \frac{1}{2} (- 4 + \frac{1}{4})$

Étape 7.2.8

Pour écrire $- 4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{1}{2} (- 4 \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4})$

Étape 7.2.9

Associez $- 4$ et $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{- 4 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4})$

Étape 7.2.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 4 \cdot 4 + 1}{4}$

Étape 7.2.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.11.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 16 + 1}{4}$

Étape 7.2.11.2

Additionnez $- 16$ et $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 15}{4}$

Étape 7.2.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2} (- \frac{15}{4})$

Étape 7.2.13

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2}) \frac{15}{4}$

Étape 7.2.14

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{15}{4}$

Étape 7.2.15

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{15}{4}$ .

$\frac{15}{2 \cdot 4}$

Étape 7.2.16

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{15}{8}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{15}{8}$

Forme décimale :

$1.875$

Forme de nombre mixte :

$1 \frac{7}{8}$