Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} x \cos (2 x) d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = \cos (2 x)$ .

$x (\frac{1}{2} \sin (2 x))]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{2} \sin (2 x) d x$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sin (2 x)$ .

$x \frac{\sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{2} \sin (2 x) d x$

Étape 2.2

Associez $x$ et $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{2} \sin (2 x) d x$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin (2 x) d x)$

Étape 4

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 4.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 4.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 4.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Étape 4.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 4.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{4}$

Étape 4.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.5.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Étape 4.5.2

Annulez le facteur commun.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Étape 4.5.3

Réécrivez l’expression.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Étape 4.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Étape 4.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Étape 5

Associez $\sin (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (u)}{2} d u$

Étape 6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u)$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u$

Étape 7.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u$

Étape 8

L’intégrale de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $- \cos (u)$ .

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{4} - \cos (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

Étape 9

Remplacez et simplifiez.

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Étape 9.1

Évaluez $\frac{x \sin (2 x)}{2}$ sur $\frac{π}{4}$ et sur $0$ .

$(\frac{\frac{π}{4} \sin (2 \frac{π}{4})}{2}) - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} - \cos (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

Étape 9.2

Évaluez $- \cos (u)$ sur $\frac{π}{2}$ et sur $0$ .

$(\frac{\frac{π}{4} \sin (2 \frac{π}{4})}{2}) - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Étape 9.3

Simplifiez

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Étape 9.3.1

Associez $2$ et $\frac{π}{4}$ .

$\frac{\frac{π}{4} \sin (\frac{2 π}{4})}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Étape 9.3.2

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 9.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$\frac{\frac{π}{4} \sin (\frac{2 (π)}{4})}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Étape 9.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{\frac{π}{4} \sin (\frac{2 π}{2 \cdot 2})}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Étape 9.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{π}{4} \sin (\frac{2 π}{2 \cdot 2})}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Étape 9.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{π}{4} \sin (\frac{π}{2})}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Étape 9.3.3

Associez $\frac{π}{4}$ et $\sin (\frac{π}{2})$ .

$\frac{\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{4}}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Étape 9.3.4

Réécrivez $\frac{\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{4}}{2}$ comme un produit.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{4} \cdot \frac{1}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Étape 9.3.5

Multipliez $\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{4}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{4 \cdot 2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Étape 9.3.6

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Étape 9.3.7

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{0 \sin (0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Étape 9.3.8

Multipliez $0$ par $\sin (0)$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{0}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Étape 9.3.9

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 9.3.9.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{2 (0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Étape 9.3.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.3.9.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Étape 9.3.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Étape 9.3.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{0}{1} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Étape 9.3.9.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - 0 - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Étape 9.3.10

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} + 0 - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Étape 9.3.11

Additionnez $\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8}$ et $0$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Étape 9.3.12

Pour écrire $- \frac{1}{4} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{8}{8}$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{1}{4} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot \frac{8}{8}$

Étape 9.3.13

Associez $- \frac{1}{4} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ et $\frac{8}{8}$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} + \frac{- \frac{1}{4} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot 8}{8}$

Étape 9.3.14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) - \frac{1}{4} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot 8}{8}$

Étape 9.3.15

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) - 8 (\frac{1}{4}) (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{8}$

Étape 9.3.16

Associez $- 8$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) + \frac{- 8}{4} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{8}$

Étape 9.3.17

Annulez le facteur commun à $- 8$ et $4$ .

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Étape 9.3.17.1

Factorisez $4$ à partir de $- 8$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) + \frac{4 \cdot - 2}{4} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{8}$

Étape 9.3.17.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.3.17.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) + \frac{4 \cdot - 2}{4 (1)} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{8}$

Étape 9.3.17.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) + \frac{4 \cdot - 2}{4 \cdot 1} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{8}$

Étape 9.3.17.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) + \frac{- 2}{1} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{8}$

Étape 9.3.17.2.4

Divisez $- 2$ par $1$ .

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{8}$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$\frac{π \cdot 1 - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{8}$

Étape 10.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$\frac{π \cdot 1 - 2 (- 0 + \cos (0))}{8}$

Étape 10.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{π \cdot 1 - 2 (- 0 + 1)}{8}$

Étape 10.4

Multipliez $π$ par $1$ .

$\frac{π - 2 (- 0 + 1)}{8}$

Étape 10.5

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{π - 2 (0 + 1)}{8}$

Étape 10.6

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{π - 2 \cdot 1}{8}$

Étape 10.7

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{π - 2}{8}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{π - 2}{8}$

Forme décimale :

$0.14269908 \dots$