Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{0.9} \cos (\sqrt{6 x}) d x$

Étape 1

Laissez $u_{1} = 6 x$ . Alors $d u_{1} = 6 d x$ , donc $\frac{1}{6} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 1.1

Laissez $u_{1} = 6 x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x]$

Étape 1.1.2

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Étape 1.1.4

Multipliez $6$ par $1$ .

$6$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u_{1} = 6 x$ .

$u_{lower} = 6 \cdot 0$

Étape 1.3

Multipliez $6$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u_{1} = 6 x$ .

$u_{upper} = 6 \cdot 0.9$

Étape 1.5

Multipliez $6$ par $0.9$ .

$u_{upper} = 5.4$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 5.4$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ , $d u_{1}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0}^{5.4} \cos (\sqrt{u_{1}}) \frac{1}{6} d u_{1}$

Étape 2

Associez $\cos (\sqrt{u_{1}})$ et $\frac{1}{6}$ .

$\int_{0}^{5.4} \frac{\cos (\sqrt{u_{1}})}{6} d u_{1}$

Étape 3

Comme $\frac{1}{6}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{6}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{6} \int_{0}^{5.4} \cos (\sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Étape 4

Laissez $u_{2} = \sqrt{u_{1}}$ . Alors $d u_{2} = \frac{1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$ , donc $2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

$\frac{1}{6} \int_{0}^{\sqrt{5.4}} 2 u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 5

Comme $2$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{6} (2 \int_{0}^{\sqrt{5.4}} u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2})$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Associez $2$ et $\frac{1}{6}$ .

$\frac{2}{6} \int_{0}^{\sqrt{5.4}} u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun à $2$ et $6$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (1)}{6} \int_{0}^{\sqrt{5.4}} u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 6.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int_{0}^{\sqrt{5.4}} u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 6.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int_{0}^{\sqrt{5.4}} u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 6.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} \int_{0}^{\sqrt{5.4}} u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 7

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int w d v = w v - \int v d w$ , où $w = u_{2}$ et $dv = \cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{3} (u_{2} \sin (u_{2})]_{0}^{\sqrt{5.4}} - \int_{0}^{\sqrt{5.4}} \sin (u_{2}) d u_{2})$

Étape 8

L’intégrale de $\sin (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{3} (u_{2} \sin (u_{2})]_{0}^{\sqrt{5.4}} - (- \cos (u_{2})]_{0}^{\sqrt{5.4}}))$

Étape 9

Remplacez et simplifiez.

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Étape 9.1

Évaluez $u_{2} \sin (u_{2})$ sur $\sqrt{5.4}$ et sur $0$ .

$\frac{1}{3} ((\sqrt{5.4} \sin (\sqrt{5.4})) + 0 \sin (0) - (- \cos (u_{2})]_{0}^{\sqrt{5.4}}))$

Étape 9.2

Évaluez $- \cos (u_{2})$ sur $\sqrt{5.4}$ et sur $0$ .

$\frac{1}{3} ((\sqrt{5.4} \sin (\sqrt{5.4})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\sqrt{5.4})) + \cos (0)))$

Étape 9.3

Simplifiez

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Étape 9.3.1

Multipliez $0$ par $\sin (0)$ .

$\frac{1}{3} (\sqrt{5.4} \sin (\sqrt{5.4}) + 0 - ((- \cos (\sqrt{5.4})) + \cos (0)))$

Étape 9.3.2

Additionnez $\sqrt{5.4} \sin (\sqrt{5.4})$ et $0$ .

$\frac{1}{3} (\sqrt{5.4} \sin (\sqrt{5.4}) - (- \cos (\sqrt{5.4}) + \cos (0)))$

Étape 10

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{3} (\sqrt{5.4} \sin (\sqrt{5.4}) - (- \cos (\sqrt{5.4}) + 1))$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Évaluez $\sin (\sqrt{5.4})$ .

$\frac{1}{3} (\sqrt{5.4} \cdot 0.72964498 - (- \cos (\sqrt{5.4}) + 1))$

Étape 11.2

Multipliez $\sqrt{5.4}$ par $0.72964498$ .

$\frac{1}{3} (1.69554172 - (- \cos (\sqrt{5.4}) + 1))$

Étape 11.3

Évaluez $\cos (\sqrt{5.4})$ .

$\frac{1}{3} (1.69554172 - (- - 0.68382614 + 1))$

Étape 11.4

Multipliez $- 1$ par $- 0.68382614$ .

$\frac{1}{3} (1.69554172 - (0.68382614 + 1))$

Étape 11.5

Additionnez $0.68382614$ et $1$ .

$\frac{1}{3} (1.69554172 - 1 \cdot 1.68382614)$

Étape 11.6

Multipliez $- 1$ par $1.68382614$ .

$\frac{1}{3} (1.69554172 - 1.68382614)$

Étape 11.7

Soustrayez $1.68382614$ de $1.69554172$ .

$\frac{1}{3} \cdot 0.01171557$

Étape 11.8

Associez $\frac{1}{3}$ et $0.01171557$ .

$\frac{0.01171557}{3}$

Étape 11.9

Divisez $0.01171557$ par $3$ .

$0.00390519$