Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} 3 + \frac{1}{4} u^{4} - \frac{2}{3} u^{9} d u$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{1} 3 d u + \int_{0}^{1} \frac{1}{4} u^{4} d u + \int_{0}^{1} - \frac{2}{3} u^{9} d u$

Étape 2

Appliquez la règle de la constante.

$3 u]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \frac{1}{4} u^{4} d u + \int_{0}^{1} - \frac{2}{3} u^{9} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$3 u]_{0}^{1} + \frac{1}{4} \int_{0}^{1} u^{4} d u + \int_{0}^{1} - \frac{2}{3} u^{9} d u$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{4}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$3 u]_{0}^{1} + \frac{1}{4} \frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - \frac{2}{3} u^{9} d u$

Étape 5

Comme $- \frac{2}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $- \frac{2}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$3 u]_{0}^{1} + \frac{1}{4} \frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} - \frac{2}{3} \int_{0}^{1} u^{9} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{9}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{10} u^{10}$ .

$3 u]_{0}^{1} + \frac{1}{4} \frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} - \frac{2}{3} \frac{1}{10} u^{10}]_{0}^{1}$

Étape 7

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.1

Évaluez $3 u$ sur $1$ et sur $0$ .

$(3 \cdot 1) - 3 \cdot 0 + \frac{1}{4} \frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} - \frac{2}{3} \frac{1}{10} u^{10}]_{0}^{1}$

Étape 7.2

Évaluez $\frac{1}{5} u^{5}$ sur $1$ et sur $0$ .

$3 \cdot 1 - 3 \cdot 0 + \frac{1}{4} (\frac{1}{5} \cdot 1^{5} - \frac{1}{5} \cdot 0^{5}) - \frac{2}{3} \frac{1}{10} u^{10}]_{0}^{1}$

Étape 7.3

Évaluez $\frac{1}{10} u^{10}$ sur $1$ et sur $0$ .

$3 \cdot 1 - 3 \cdot 0 + \frac{1}{4} (\frac{1}{5} \cdot 1^{5} - \frac{1}{5} \cdot 0^{5}) - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Étape 7.4

Simplifiez

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Étape 7.4.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 - 3 \cdot 0 + \frac{1}{4} (\frac{1}{5} \cdot 1^{5} - \frac{1}{5} \cdot 0^{5}) - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Étape 7.4.2

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$3 + 0 + \frac{1}{4} (\frac{1}{5} \cdot 1^{5} - \frac{1}{5} \cdot 0^{5}) - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Étape 7.4.3

Additionnez $3$ et $0$ .

$3 + \frac{1}{4} (\frac{1}{5} \cdot 1^{5} - \frac{1}{5} \cdot 0^{5}) - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Étape 7.4.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$3 + \frac{1}{4} (\frac{1}{5} \cdot 1 - \frac{1}{5} \cdot 0^{5}) - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Étape 7.4.5

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $1$ .

$3 + \frac{1}{4} (\frac{1}{5} - \frac{1}{5} \cdot 0^{5}) - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Étape 7.4.6

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$3 + \frac{1}{4} (\frac{1}{5} - \frac{1}{5} \cdot 0) - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Étape 7.4.7

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$3 + \frac{1}{4} (\frac{1}{5} + 0 (\frac{1}{5})) - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Étape 7.4.8

Multipliez $0$ par $\frac{1}{5}$ .

$3 + \frac{1}{4} (\frac{1}{5} + 0) - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Étape 7.4.9

Additionnez $\frac{1}{5}$ et $0$ .

$3 + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5} - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Étape 7.4.10

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{1}{5}$ .

$3 + \frac{1}{4 \cdot 5} - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Étape 7.4.11

Multipliez $4$ par $5$ .

$3 + \frac{1}{20} - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Étape 7.4.12

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{20}{20}$ .

$3 \cdot \frac{20}{20} + \frac{1}{20} - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Étape 7.4.13

Associez $3$ et $\frac{20}{20}$ .

$\frac{3 \cdot 20}{20} + \frac{1}{20} - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Étape 7.4.14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 \cdot 20 + 1}{20} - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Étape 7.4.15

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.4.15.1

Multipliez $3$ par $20$ .

$\frac{60 + 1}{20} - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Étape 7.4.15.2

Additionnez $60$ et $1$ .

$\frac{61}{20} - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Étape 7.4.16

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{61}{20} - \frac{2}{3} (\frac{1}{10} \cdot 1 - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Étape 7.4.17

Multipliez $\frac{1}{10}$ par $1$ .

$\frac{61}{20} - \frac{2}{3} (\frac{1}{10} - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Étape 7.4.18

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{61}{20} - \frac{2}{3} (\frac{1}{10} - \frac{1}{10} \cdot 0)$

Étape 7.4.19

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$\frac{61}{20} - \frac{2}{3} (\frac{1}{10} + 0 (\frac{1}{10}))$

Étape 7.4.20

Multipliez $0$ par $\frac{1}{10}$ .

$\frac{61}{20} - \frac{2}{3} (\frac{1}{10} + 0)$

Étape 7.4.21

Additionnez $\frac{1}{10}$ et $0$ .

$\frac{61}{20} - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{10}$

Étape 7.4.22

Multipliez $\frac{1}{10}$ par $\frac{2}{3}$ .

$\frac{61}{20} - \frac{2}{10 \cdot 3}$

Étape 7.4.23

Multipliez $10$ par $3$ .

$\frac{61}{20} - \frac{2}{30}$

Étape 7.4.24

Annulez le facteur commun à $2$ et $30$ .

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Étape 7.4.24.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{61}{20} - \frac{2 (1)}{30}$

Étape 7.4.24.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.4.24.2.1

Factorisez $2$ à partir de $30$ .

$\frac{61}{20} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 15}$

Étape 7.4.24.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{61}{20} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 15}$

Étape 7.4.24.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{61}{20} - \frac{1}{15}$

Étape 7.4.25

Pour écrire $\frac{61}{20}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{61}{20} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{15}$

Étape 7.4.26

Pour écrire $- \frac{1}{15}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{61}{20} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{15} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 7.4.27

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $60$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 7.4.27.1

Multipliez $\frac{61}{20}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{61 \cdot 3}{20 \cdot 3} - \frac{1}{15} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 7.4.27.2

Multipliez $20$ par $3$ .

$\frac{61 \cdot 3}{60} - \frac{1}{15} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 7.4.27.3

Multipliez $\frac{1}{15}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{61 \cdot 3}{60} - \frac{4}{15 \cdot 4}$

Étape 7.4.27.4

Multipliez $15$ par $4$ .

$\frac{61 \cdot 3}{60} - \frac{4}{60}$

Étape 7.4.28

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{61 \cdot 3 - 4}{60}$

Étape 7.4.29

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.4.29.1

Multipliez $61$ par $3$ .

$\frac{183 - 4}{60}$

Étape 7.4.29.2

Soustrayez $4$ de $183$ .

$\frac{179}{60}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{179}{60}$

Forme décimale :

$2.98\overline{3}$

Forme de nombre mixte :

$2 \frac{59}{60}$

Étape 9