Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} \frac{x}{x + 1} d x$

Étape 1

Divisez $x$ par $x + 1$ .

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Étape 1.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Étape 1.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Étape 1.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

Étape 1.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x + 1$

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

Étape 1.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

Étape 1.6

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\int_{0}^{1} 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{1} d x + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x$

Étape 3

Appliquez la règle de la constante.

$x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{x + 1} d x$

Étape 5

Laissez $u = x + 1$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = x + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 5.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 5.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 5.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x + 1$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Étape 5.3

Additionnez $0$ et $1$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 5.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x + 1$ .

$u_{upper} = 1 + 1$

Étape 5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$u_{upper} = 2$

Étape 5.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Étape 5.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$

Étape 6

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$x]_{0}^{1} - (\ln (| u |)]_{1}^{2})$

Étape 7

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.1

Évaluez $x$ sur $1$ et sur $0$ .

$(1) + 0 - (\ln (| u |)]_{1}^{2})$

Étape 7.2

Évaluez $\ln (| u |)$ sur $2$ et sur $1$ .

$(1) + 0 - ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

Étape 7.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$1 - (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 8

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$1 - \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$1 - \ln (\frac{2}{| 1 |})$

Étape 9.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$1 - \ln (\frac{2}{1})$

Étape 9.3

Divisez $2$ par $1$ .

$1 - \ln (2)$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$1 - \ln (2)$

Forme décimale :

$0.30685281 \dots$

Étape 11