Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} x^{7} \sqrt{1 - x^{8}} d x$

Étape 1

Laissez $u = 1 - x^{8}$ . Alors $d u = - 8 x^{7} d x$ , donc $- \frac{1}{8} d u = x^{7} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 1 - x^{8}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $1 - x^{8}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{8}]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x^{8}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{8}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{8}]$

Étape 1.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{8}]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{8}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{8}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{8}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 8$ .

$0 - (8 x^{7})$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$0 - 8 x^{7}$

Étape 1.1.4

Soustrayez $8 x^{7}$ de $0$ .

$- 8 x^{7}$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 1 - x^{8}$ .

$u_{lower} = 1 - 0^{8}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = 1 - 0$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Étape 1.3.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 1 - x^{8}$ .

$u_{upper} = 1 - 1^{8}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 1$

Étape 1.5.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$u_{upper} = 1 - 1$

Étape 1.5.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$u_{upper} = 0$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{1}^{0} \sqrt{u} \frac{1}{- 8} d u$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int_{1}^{0} \sqrt{u} (- \frac{1}{8}) d u$

Étape 2.2

Associez $\sqrt{u}$ et $\frac{1}{8}$ .

$\int_{1}^{0} - \frac{\sqrt{u}}{8} d u$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int_{1}^{0} \frac{\sqrt{u}}{8} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{8}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{8}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{8} \int_{1}^{0} \sqrt{u} d u)$

Étape 5

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{8} \int_{1}^{0} u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{8} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{0}$

Étape 7

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.1

Évaluez $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ sur $0$ et sur $1$ .

$- \frac{1}{8} ((\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Étape 7.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$- \frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Étape 7.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Étape 7.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Étape 7.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 0^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Étape 7.2.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Étape 7.2.5

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $0$ .

$- \frac{1}{8} (0 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Étape 7.2.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{1}{8} (0 - \frac{2}{3} \cdot 1)$

Étape 7.2.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{1}{8} (0 - \frac{2}{3})$

Étape 7.2.8

Soustrayez $\frac{2}{3}$ de $0$ .

$- \frac{1}{8} (- \frac{2}{3})$

Étape 7.2.9

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\frac{1}{8}) \frac{2}{3}$

Étape 7.2.10

Multipliez $\frac{1}{8}$ par $1$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{3}$

Étape 7.2.11

Multipliez $\frac{1}{8}$ par $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{8 \cdot 3}$

Étape 7.2.12

Multipliez $8$ par $3$ .

$\frac{2}{24}$

Étape 7.2.13

Annulez le facteur commun à $2$ et $24$ .

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Étape 7.2.13.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (1)}{24}$

Étape 7.2.13.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.13.2.1

Factorisez $2$ à partir de $24$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 12}$

Étape 7.2.13.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 12}$

Étape 7.2.13.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{12}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{12}$

Forme décimale :

$0.08\overline{3}$

Étape 9