Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} \frac{\ln (x)}{\sqrt{x}} d x$

Étape 1

Réécrivez $\frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}$ comme un produit.

$\int_{0}^{1} \ln (x) \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Étape 2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln (x)$ et $d v = \frac{1}{\sqrt{x}}$ .

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x} d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Associez $2$ et $\frac{1}{x}$ .

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2}} \frac{2}{x} d x$

Étape 3.2

Associez $x^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{2}{x}$ .

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{x} d x$

Étape 3.3

Déplacez $2$ à gauche de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{x} d x$

Étape 3.4

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Étape 3.5

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.5.1

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 3.5.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Étape 3.5.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x$

Étape 3.5.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

Étape 3.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} d x$

Étape 3.5.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Étape 4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - (2 \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x)$

Étape 5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Étape 5.2

Retirez $x^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Étape 5.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 5.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Étape 5.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Étape 5.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - 2 (2 x^{\frac{1}{2}}]_{0}^{1})$

Étape 7

Évaluez $\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})$ sur $1$ et sur $0$ .

$(\ln (1) (2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})) - \ln (0) (2 x^{\frac{1}{2}}) - 2 (2 x^{\frac{1}{2}}]_{0}^{1})$

Étape 8

Le logarithme naturel de zéro est indéfini.

Indéfini