Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} \tan^{2} (\frac{π}{4} y) d y$

Étape 1

Laissez $u = \frac{π}{4} y$ . Alors $d u = \frac{π}{4} d y$ , donc $\frac{4}{π} d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = \frac{π}{4} y$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\frac{π}{4} y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{π}{4} y]$

Étape 1.1.2

Comme $\frac{π}{4}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{π}{4} y$ par rapport à $y$ est $\frac{π}{4} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{π}{4} \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{π}{4} \cdot 1$

Étape 1.1.4

Multipliez $\frac{π}{4}$ par $1$ .

$\frac{π}{4}$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $y$ dans $u = \frac{π}{4} y$ .

$u_{lower} = \frac{π}{4} \cdot 0$

Étape 1.3

Multipliez $\frac{π}{4}$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $y$ dans $u = \frac{π}{4} y$ .

$u_{upper} = \frac{π}{4} \cdot 1$

Étape 1.5

Multipliez $\frac{π}{4}$ par $1$ .

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan^{2} (u) \frac{1}{\frac{π}{4}} d u$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{π}{4}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan^{2} (u) (1 \frac{4}{π}) d u$

Étape 2.2

Multipliez $\frac{4}{π}$ par $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan^{2} (u) \frac{4}{π} d u$

Étape 2.3

Associez $\tan^{2} (u)$ et $\frac{4}{π}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\tan^{2} (u) \cdot 4}{π} d u$

Étape 2.4

Déplacez $4$ à gauche de $\tan^{2} (u)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{4 \tan^{2} (u)}{π} d u$

Étape 3

Comme $\frac{4}{π}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{4}{π}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{4}{π} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan^{2} (u) d u$

Étape 4

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\tan^{2} (u)$ comme $- 1 + \sec^{2} (u)$ .

$\frac{4}{π} \int_{0}^{\frac{π}{4}} - 1 + \sec^{2} (u) d u$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{4}{π} (\int_{0}^{\frac{π}{4}} - 1 d u + \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) d u)$

Étape 6

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{4}{π} (- u]_{0}^{\frac{π}{4}} + \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) d u)$

Étape 7

Comme la dérivée de $\tan (u)$ est $\sec^{2} (u)$ , l’intégrale de $\sec^{2} (u)$ est $\tan (u)$ .

$\frac{4}{π} (- u]_{0}^{\frac{π}{4}} + \tan (u)]_{0}^{\frac{π}{4}})$

Étape 8

Associez $- u]_{0}^{\frac{π}{4}}$ et $\tan (u)]_{0}^{\frac{π}{4}}$ .

$\frac{4}{π} - u + \tan (u)]_{0}^{\frac{π}{4}}$

Étape 9

Remplacez et simplifiez.

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Étape 9.1

Évaluez $- u + \tan (u)$ sur $\frac{π}{4}$ et sur $0$ .

$\frac{4}{π} ((- \frac{π}{4} + \tan (\frac{π}{4})) - (- 0 + \tan (0)))$

Étape 9.2

Simplifiez

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Étape 9.2.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4} + \tan (\frac{π}{4}) - (0 + \tan (0)))$

Étape 9.2.2

Additionnez $0$ et $\tan (0)$ .

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4} + \tan (\frac{π}{4}) - \tan (0))$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{4})$ est $1$ .

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4} + 1 - \tan (0))$

Étape 10.2

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4} + 1 - 0)$

Étape 10.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4} + 1 + 0)$

Étape 10.4

Additionnez $- \frac{π}{4} + 1$ et $0$ .

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4} + 1)$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4}) + \frac{4}{π} \cdot 1$

Étape 11.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 11.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{π}{4}$ dans le numérateur.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{- π}{4} + \frac{4}{π} \cdot 1$

Étape 11.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{- π}{4} + \frac{4}{π} \cdot 1$

Étape 11.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{π} (- π) + \frac{4}{π} \cdot 1$

Étape 11.3

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 11.3.1

Factorisez $π$ à partir de $- π$ .

$\frac{1}{π} (π \cdot - 1) + \frac{4}{π} \cdot 1$

Étape 11.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{π} (π \cdot - 1) + \frac{4}{π} \cdot 1$

Étape 11.3.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 + \frac{4}{π} \cdot 1$

Étape 11.4

Multipliez $\frac{4}{π}$ par $1$ .

$- 1 + \frac{4}{π}$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- 1 + \frac{4}{π}$

Forme décimale :

$0.27323954 \dots$