Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} \sqrt{t^{4} + 7 t} (4 t^{3} + 7) d t$

Étape 1

Laissez $u = t^{4} + 7 t$ . Alors $d u = (4 t^{3} + 7) d t$ , donc $\frac{1}{4 t^{3} + 7} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = t^{4} + 7 t$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $t^{4} + 7 t$ .

$\frac{d}{d t} [t^{4} + 7 t]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t^{4} + 7 t$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [7 t]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [7 t]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 t^{3} + \frac{d}{d t} [7 t]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d t} [7 t]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $7$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $7 t$ par rapport à $t$ est $7 \frac{d}{d t} [t]$ .

$4 t^{3} + 7 \frac{d}{d t} [t]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 t^{3} + 7 \cdot 1$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $7$ par $1$ .

$4 t^{3} + 7$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $t$ dans $u = t^{4} + 7 t$ .

$u_{lower} = 0^{4} + 7 \cdot 0$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = 0 + 7 \cdot 0$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $7$ par $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0$

Étape 1.3.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $t$ dans $u = t^{4} + 7 t$ .

$u_{upper} = 1^{4} + 7 \cdot 1$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u_{upper} = 1 + 7 \cdot 1$

Étape 1.5.1.2

Multipliez $7$ par $1$ .

$u_{upper} = 1 + 7$

Étape 1.5.2

Additionnez $1$ et $7$ .

$u_{upper} = 8$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 8$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0}^{8} \sqrt{u} d u$

Étape 2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{8} u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{8}$

Étape 4

Remplacez et simplifiez.

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Étape 4.1

Évaluez $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ sur $8$ et sur $0$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $8^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$\frac{2 \cdot {(2^{3})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.3

Multipliez les exposants dans ${(2^{3})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 4.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{3 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.3.2

Multipliez $3 (\frac{3}{2})$ .

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Étape 4.2.3.2.1

Associez $3$ et $\frac{3}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{3 \cdot 3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.3.2.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2^{1 + \frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2^{\frac{2 + 9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.7

Additionnez $2$ et $9$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.8

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.9

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

Étape 4.2.10

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.10.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

Étape 4.2.10.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3}$

Étape 4.2.11

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0$

Étape 4.2.12

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} + 0 (\frac{2}{3})$

Étape 4.2.13

Multipliez $0$ par $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} + 0$

Étape 4.2.14

Additionnez $\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3}$ et $0$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3}$

Forme décimale :

$15.08494466 \dots$

Étape 6