Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} \frac{1}{4 x + 1} d x$

Étape 1

Laissez $u = 4 x + 1$ . Alors $d u = 4 d x$ , donc $\frac{1}{4} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 4 x + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $4 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x + 1]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $4$ et $0$ .

$4$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 4 x + 1$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 0 + 1$

Étape 1.3

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Étape 1.3.1

Multipliez $4$ par $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Étape 1.3.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 4 x + 1$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 1 + 1$

Étape 1.5

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Étape 1.5.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$u_{upper} = 4 + 1$

Étape 1.5.2

Additionnez $4$ et $1$ .

$u_{upper} = 5$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 5$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{1}^{5} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{4} d u$

Étape 2

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{4}$ .

$\int_{1}^{5} \frac{1}{u \cdot 4} d u$

Étape 2.2

Déplacez $4$ à gauche de $u$ .

$\int_{1}^{5} \frac{1}{4 u} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

Étape 4

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{4} \ln (| u |)]_{1}^{5}$

Étape 5

Évaluez $\ln (| u |)$ sur $5$ et sur $1$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 6

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Étape 6.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{4} \ln (\frac{| 5 |}{| 1 |})$

Étape 6.2

Associez $\frac{1}{4}$ et $\ln (\frac{| 5 |}{| 1 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| 5 |}{| 1 |})}{4}$

Étape 7

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Étape 7.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $5$ est $5$ .

$\frac{\ln (\frac{5}{| 1 |})}{4}$

Étape 7.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{\ln (\frac{5}{1})}{4}$

Étape 7.3

Divisez $5$ par $1$ .

$\frac{\ln (5)}{4}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\ln (5)}{4}$

Forme décimale :

$0.40235947 \dots$

Étape 9