Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} \frac{2 t}{1 + t^{2}} d t$

Étape 1

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int_{0}^{1} \frac{t}{1 + t^{2}} d t$

Étape 2

Laissez $u = 1 + t^{2}$ . Alors $d u = 2 t d t$ , donc $\frac{1}{2} d u = t d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = 1 + t^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $1 + t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [1 + t^{2}]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + t^{2}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Étape 2.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Étape 2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 2 t$

Étape 2.1.5

Additionnez $0$ et $2 t$ .

$2 t$

Étape 2.2

Remplacez la limite inférieure pour $t$ dans $u = 1 + t^{2}$ .

$u_{lower} = 1 + 0^{2}$

Étape 2.3

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Étape 2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 2.4

Remplacez la limite supérieure pour $t$ dans $u = 1 + t^{2}$ .

$u_{upper} = 1 + 1^{2}$

Étape 2.5

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Étape 2.5.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u_{upper} = 1 + 1$

Étape 2.5.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$u_{upper} = 2$

Étape 2.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Étape 2.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$2 \int_{1}^{2} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 3

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$2 \int_{1}^{2} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Étape 3.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$2 \int_{1}^{2} \frac{1}{2 u} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u)$

Étape 5

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Étape 5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$

Étape 5.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$

Étape 5.3

Multipliez $\int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$ par $1$ .

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$

Étape 6

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{1}^{2}$

Étape 7

Évaluez $\ln (| u |)$ sur $2$ et sur $1$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Étape 8

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

Étape 9

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Étape 9.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\ln (\frac{2}{| 1 |})$

Étape 9.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\ln (\frac{2}{1})$

Étape 9.3

Divisez $2$ par $1$ .

$\ln (2)$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\ln (2)$

Forme décimale :

$0.69314718 \dots$

Étape 11