Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} \frac{6 t}{t^{2} + 1} d t$

Étape 1

Comme $6$ est constant par rapport à $t$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$6 \int_{0}^{1} \frac{t}{t^{2} + 1} d t$

Étape 2

Laissez $u = t^{2} + 1$ . Alors $d u = 2 t d t$ , donc $\frac{1}{2} d u = t d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = t^{2} + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $t^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t^{2} + 1$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 t + \frac{d}{d t} [1]$

Étape 2.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$2 t + 0$

Étape 2.1.5

Additionnez $2 t$ et $0$ .

$2 t$

Étape 2.2

Remplacez la limite inférieure pour $t$ dans $u = t^{2} + 1$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

Étape 2.3

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Étape 2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Étape 2.3.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 2.4

Remplacez la limite supérieure pour $t$ dans $u = t^{2} + 1$ .

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

Étape 2.5

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Étape 2.5.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u_{upper} = 1 + 1$

Étape 2.5.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$u_{upper} = 2$

Étape 2.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Étape 2.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$6 \int_{1}^{2} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 3

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$6 \int_{1}^{2} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Étape 3.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$6 \int_{1}^{2} \frac{1}{2 u} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$6 (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u)$

Étape 5

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Étape 5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $6$ .

$\frac{6}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$

Étape 5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$

Étape 5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{1} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$

Étape 5.2.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$3 \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$

Étape 6

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$3 (\ln (| u |)]_{1}^{2})$

Étape 7

Évaluez $\ln (| u |)$ sur $2$ et sur $1$ .

$3 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 8

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$3 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

Étape 9

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Étape 9.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$3 \ln (\frac{2}{| 1 |})$

Étape 9.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$3 \ln (\frac{2}{1})$

Étape 9.3

Divisez $2$ par $1$ .

$3 \ln (2)$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$3 \ln (2)$

Forme décimale :

$2.07944154 \dots$

Étape 11