Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} {(8 y^{2} - y + 1)}^{- \frac{1}{3}} (32 y - 2) d y$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int_{0}^{1} \frac{1}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}} (32 y - 2) d y$

Étape 1.2

Multipliez $\frac{1}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ par $32 y - 2$ .

$\int_{0}^{1} \frac{32 y - 2}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}} d y$

Étape 1.3

Factorisez $2$ à partir de $32 y - 2$ .

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Étape 1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $32 y$ .

$\int_{0}^{1} \frac{2 (16 y) - 2}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}} d y$

Étape 1.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\int_{0}^{1} \frac{2 (16 y) + 2 (- 1)}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}} d y$

Étape 1.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (16 y) + 2 (- 1)$ .

$\int_{0}^{1} \frac{2 (16 y - 1)}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}} d y$

Étape 2

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int_{0}^{1} \frac{16 y - 1}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}} d y$

Étape 3

Laissez $u = 8 y^{2} - y + 1$ . Alors $d u = (16 y - 1) d y$ , donc $\frac{1}{16 y - 1} d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1

Laissez $u = 8 y^{2} - y + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $8 y^{2} - y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [8 y^{2} - y + 1]$

Étape 3.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 y^{2} - y + 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [8 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [8 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 3.1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [8 y^{2}]$ .

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Étape 3.1.3.1

Comme $8$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $8 y^{2}$ par rapport à $y$ est $8 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$8 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 3.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$8 (2 y) + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 3.1.3.3

Multipliez $2$ par $8$ .

$16 y + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 3.1.4

Évaluez $\frac{d}{d y} [- y]$ .

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Étape 3.1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$16 y - \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 3.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$16 y - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 3.1.4.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$16 y - 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 3.1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.1.5.1

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$16 y - 1 + 0$

Étape 3.1.5.2

Additionnez $16 y - 1$ et $0$ .

$16 y - 1$

Étape 3.2

Remplacez la limite inférieure pour $y$ dans $u = 8 y^{2} - y + 1$ .

$u_{lower} = 8 \cdot 0^{2} - 0 + 1$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = 8 \cdot 0 - 0 + 1$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $8$ par $0$ .

$u_{lower} = 0 - 0 + 1$

Étape 3.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0 + 1$

Étape 3.3.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Étape 3.3.3

Additionnez $0$ et $1$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 3.4

Remplacez la limite supérieure pour $y$ dans $u = 8 y^{2} - y + 1$ .

$u_{upper} = 8 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1 + 1$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u_{upper} = 8 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 1$

Étape 3.5.1.2

Multipliez $8$ par $1$ .

$u_{upper} = 8 - 1 \cdot 1 + 1$

Étape 3.5.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$u_{upper} = 8 - 1 + 1$

Étape 3.5.2

Soustrayez $1$ de $8$ .

$u_{upper} = 7 + 1$

Étape 3.5.3

Additionnez $7$ et $1$ .

$u_{upper} = 8$

Étape 3.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 8$

Étape 3.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$2 \int_{1}^{8} \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Étape 4

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.1

Retirez $u^{\frac{1}{3}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$2 \int_{1}^{8} {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Étape 4.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Étape 4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int_{1}^{8} u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Étape 4.2.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 1$ .

$2 \int_{1}^{8} u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Étape 4.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 \int_{1}^{8} u^{- \frac{1}{3}} d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{3}}$ par rapport à $u$ est $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$2 (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}]_{1}^{8})$

Étape 6

Associez $\frac{3}{2}$ et $u^{\frac{2}{3}}$ .

$2 (\frac{3 u^{\frac{2}{3}}}{2}]_{1}^{8})$

Étape 7

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.1

Évaluez $\frac{3 u^{\frac{2}{3}}}{2}$ sur $8$ et sur $1$ .

$2 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{2}{3}}}{2}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Étape 7.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$2 (\frac{3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Étape 7.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{3 \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})}}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Étape 7.2.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{3 \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})}}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Étape 7.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$2 (\frac{3 \cdot 2^{2}}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Étape 7.2.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$2 (\frac{3 \cdot 4}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Étape 7.2.5

Multipliez $3$ par $4$ .

$2 (\frac{12}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Étape 7.2.6

Annulez le facteur commun à $12$ et $2$ .

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Étape 7.2.6.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$2 (\frac{2 \cdot 6}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Étape 7.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$2 (\frac{2 \cdot 6}{2 (1)} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Étape 7.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Étape 7.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 (\frac{6}{1} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Étape 7.2.6.2.4

Divisez $6$ par $1$ .

$2 (6 - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Étape 7.2.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2 (6 - \frac{3 \cdot 1}{2})$

Étape 7.2.8

Multipliez $3$ par $1$ .

$2 (6 - \frac{3}{2})$

Étape 7.2.9

Pour écrire $6$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 (6 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2})$

Étape 7.2.10

Associez $6$ et $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{6 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2})$

Étape 7.2.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 \frac{6 \cdot 2 - 3}{2}$

Étape 7.2.12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.12.1

Multipliez $6$ par $2$ .

$2 \frac{12 - 3}{2}$

Étape 7.2.12.2

Soustrayez $3$ de $12$ .

$2 (\frac{9}{2})$

Étape 7.2.13

Associez $2$ et $\frac{9}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 9}{2}$

Étape 7.2.14

Multipliez $2$ par $9$ .

$\frac{18}{2}$

Étape 7.2.15

Annulez le facteur commun à $18$ et $2$ .

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Étape 7.2.15.1

Factorisez $2$ à partir de $18$ .

$\frac{2 \cdot 9}{2}$

Étape 7.2.15.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.15.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 9}{2 (1)}$

Étape 7.2.15.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.15.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{9}{1}$

Étape 7.2.15.2.4

Divisez $9$ par $1$ .

$9$

Étape 8