Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} {(1 - x)}^{9} d x$

Étape 1

Laissez $u = 1 - x$ . Alors $d u = - d x$ , donc $- d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 1 - x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $1 - x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 - 1$

Étape 1.1.4

Soustrayez $1$ de $0$ .

$- 1$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 1 - x$ .

$u_{lower} = 1 - 0$

Étape 1.3

Soustrayez $0$ de $1$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 1 - x$ .

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 1$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$u_{upper} = 1 - 1$

Étape 1.5.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$u_{upper} = 0$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{1}^{0} - u^{9} d u$

Étape 2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int_{1}^{0} u^{9} d u$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{9}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{10} u^{10}$ .

$- (\frac{1}{10} u^{10}]_{1}^{0})$

Étape 4

Associez $\frac{1}{10}$ et $u^{10}$ .

$- (\frac{u^{10}}{10}]_{1}^{0})$

Étape 5

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.1

Évaluez $\frac{u^{10}}{10}$ sur $0$ et sur $1$ .

$- ((\frac{0^{10}}{10}) - \frac{1^{10}}{10})$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- (\frac{0}{10} - \frac{1^{10}}{10})$

Étape 5.2.2

Annulez le facteur commun à $0$ et $10$ .

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Étape 5.2.2.1

Factorisez $10$ à partir de $0$ .

$- (\frac{10 (0)}{10} - \frac{1^{10}}{10})$

Étape 5.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.2.1

Factorisez $10$ à partir de $10$ .

$- (\frac{10 \cdot 0}{10 \cdot 1} - \frac{1^{10}}{10})$

Étape 5.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$- (\frac{10 \cdot 0}{10 \cdot 1} - \frac{1^{10}}{10})$

Étape 5.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$- (\frac{0}{1} - \frac{1^{10}}{10})$

Étape 5.2.2.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$- (0 - \frac{1^{10}}{10})$

Étape 5.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- (0 - \frac{1}{10})$

Étape 5.2.4

Soustrayez $\frac{1}{10}$ de $0$ .

$- - \frac{1}{10}$

Étape 5.2.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\frac{1}{10})$

Étape 5.2.6

Multipliez $\frac{1}{10}$ par $1$ .

$\frac{1}{10}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{10}$

Forme décimale :

$0.1$

Étape 7