Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{2} x^{3} - 5 x^{2} + 2 x + 8 d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{2} x^{3} d x + \int_{0}^{2} - 5 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 2 x d x + \int_{0}^{2} 8 d x$

Étape 2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - 5 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 2 x d x + \int_{0}^{2} 8 d x$

Étape 3

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 5$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2} - 5 \int_{0}^{2} x^{2} d x + \int_{0}^{2} 2 x d x + \int_{0}^{2} 8 d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2} - 5 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 2 x d x + \int_{0}^{2} 8 d x$

Étape 5

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2} - 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 2 x d x + \int_{0}^{2} 8 d x$

Étape 6

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2} - 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 2 \int_{0}^{2} x d x + \int_{0}^{2} 8 d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2} - 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 8 d x$

Étape 8

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2} - 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 8 d x$

Étape 9

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2} - 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + 8 x]_{0}^{2}$

Étape 10

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.1

Associez $\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2}$ et $8 x]_{0}^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + 8 x]_{0}^{2} - 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2})$

Étape 10.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 10.2.1

Évaluez $\frac{1}{4} x^{4} + 8 x$ sur $2$ et sur $0$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 2^{4} + 8 \cdot 2) - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 8 \cdot 0) - 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2})$

Étape 10.2.2

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $2$ et sur $0$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 2^{4} + 8 \cdot 2) - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 8 \cdot 0) - 5 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2})$

Étape 10.2.3

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $2$ et sur $0$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 2^{4} + 8 \cdot 2) - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 8 \cdot 0) - 5 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4

Simplifiez

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Étape 10.2.4.1

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$\frac{1}{4} \cdot 16 + 8 \cdot 2 - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 8 \cdot 0) - 5 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.2

Associez $\frac{1}{4}$ et $16$ .

$\frac{16}{4} + 8 \cdot 2 - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 8 \cdot 0) - 5 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.3

Annulez le facteur commun à $16$ et $4$ .

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Étape 10.2.4.3.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4} + 8 \cdot 2 - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 8 \cdot 0) - 5 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.4.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} + 8 \cdot 2 - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 8 \cdot 0) - 5 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} + 8 \cdot 2 - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 8 \cdot 0) - 5 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{1} + 8 \cdot 2 - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 8 \cdot 0) - 5 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.3.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$4 + 8 \cdot 2 - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 8 \cdot 0) - 5 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.4

Multipliez $8$ par $2$ .

$4 + 16 - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 8 \cdot 0) - 5 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.5

Additionnez $4$ et $16$ .

$20 - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 8 \cdot 0) - 5 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.6

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$20 - (\frac{1}{4} \cdot 0 + 8 \cdot 0) - 5 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.7

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $0$ .

$20 - (0 + 8 \cdot 0) - 5 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.8

Multipliez $8$ par $0$ .

$20 - (0 + 0) - 5 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.9

Additionnez $0$ et $0$ .

$20 - 0 - 5 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.10

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$20 + 0 - 5 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.11

Additionnez $20$ et $0$ .

$20 - 5 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.12

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$20 - 5 (\frac{8}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.13

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$20 - 5 (\frac{8}{3} - \frac{0}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.14

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 10.2.4.14.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$20 - 5 (\frac{8}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.14.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.4.14.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$20 - 5 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.14.2.2

Annulez le facteur commun.

$20 - 5 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.14.2.3

Réécrivez l’expression.

$20 - 5 (\frac{8}{3} - \frac{0}{1}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.14.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$20 - 5 (\frac{8}{3} - 0) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.15

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$20 - 5 (\frac{8}{3} + 0) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.16

Additionnez $\frac{8}{3}$ et $0$ .

$20 - 5 (\frac{8}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.17

Associez $- 5$ et $\frac{8}{3}$ .

$20 + \frac{- 5 \cdot 8}{3} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.18

Multipliez $- 5$ par $8$ .

$20 + \frac{- 40}{3} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.19

Placez le signe moins devant la fraction.

$20 - \frac{40}{3} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.20

Pour écrire $20$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$20 \cdot \frac{3}{3} - \frac{40}{3} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.21

Associez $20$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{20 \cdot 3}{3} - \frac{40}{3} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.22

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{20 \cdot 3 - 40}{3} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.23

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.2.4.23.1

Multipliez $20$ par $3$ .

$\frac{60 - 40}{3} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.23.2

Soustrayez $40$ de $60$ .

$\frac{20}{3} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.24

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{20}{3} + 2 (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.25

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 10.2.4.25.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{20}{3} + 2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.25.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.4.25.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{20}{3} + 2 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.25.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{20}{3} + 2 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.25.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{20}{3} + 2 (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.25.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$\frac{20}{3} + 2 (2 - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.26

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{20}{3} + 2 (2 - \frac{0}{2})$

Étape 10.2.4.27

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 10.2.4.27.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$\frac{20}{3} + 2 (2 - \frac{2 (0)}{2})$

Étape 10.2.4.27.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.4.27.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{20}{3} + 2 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Étape 10.2.4.27.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{20}{3} + 2 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Étape 10.2.4.27.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{20}{3} + 2 (2 - \frac{0}{1})$

Étape 10.2.4.27.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$\frac{20}{3} + 2 (2 - 0)$

Étape 10.2.4.28

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{20}{3} + 2 (2 + 0)$

Étape 10.2.4.29

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{20}{3} + 2 \cdot 2$

Étape 10.2.4.30

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{20}{3} + 4$

Étape 10.2.4.31

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{20}{3} + 4 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 10.2.4.32

Associez $4$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{20}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3}$

Étape 10.2.4.33

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{20 + 4 \cdot 3}{3}$

Étape 10.2.4.34

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.2.4.34.1

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{20 + 12}{3}$

Étape 10.2.4.34.2

Additionnez $20$ et $12$ .

$\frac{32}{3}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{32}{3}$

Forme décimale :

$10.\overline{6}$

Forme de nombre mixte :

$10 \frac{2}{3}$

Étape 12