Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{2} x^{3} - 3 x^{2} + 2 x d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{2} x^{3} d x + \int_{0}^{2} - 3 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 2 x d x$

Étape 2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - 3 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 2 x d x$

Étape 3

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 3$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2} - 3 \int_{0}^{2} x^{2} d x + \int_{0}^{2} 2 x d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2} - 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 2 x d x$

Étape 5

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2} - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 2 x d x$

Étape 6

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2} - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 2 \int_{0}^{2} x d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2} - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2})$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2} - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2})$

Étape 8.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 8.2.1

Évaluez $\frac{1}{4} x^{4}$ sur $2$ et sur $0$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 2^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2})$

Étape 8.2.2

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $2$ et sur $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot 2^{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2})$

Étape 8.2.3

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $2$ et sur $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot 2^{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.4

Simplifiez

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Étape 8.2.4.1

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$\frac{1}{4} \cdot 16 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.2

Associez $\frac{1}{4}$ et $16$ .

$\frac{16}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.3

Annulez le facteur commun à $16$ et $4$ .

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Étape 8.2.4.3.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.4.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{1} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.3.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$4 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$4 - \frac{1}{4} \cdot 0 - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.5

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$4 + 0 (\frac{1}{4}) - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.6

Multipliez $0$ par $\frac{1}{4}$ .

$4 + 0 - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.7

Additionnez $4$ et $0$ .

$4 - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.8

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$4 - 3 (\frac{8}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.9

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$4 - 3 (\frac{8}{3} - \frac{0}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.10

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 8.2.4.10.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$4 - 3 (\frac{8}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.4.10.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$4 - 3 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$4 - 3 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$4 - 3 (\frac{8}{3} - \frac{0}{1}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.10.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$4 - 3 (\frac{8}{3} - 0) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.11

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$4 - 3 (\frac{8}{3} + 0) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.12

Additionnez $\frac{8}{3}$ et $0$ .

$4 - 3 (\frac{8}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.13

Associez $- 3$ et $\frac{8}{3}$ .

$4 + \frac{- 3 \cdot 8}{3} + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.14

Multipliez $- 3$ par $8$ .

$4 + \frac{- 24}{3} + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.15

Annulez le facteur commun à $- 24$ et $3$ .

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Étape 8.2.4.15.1

Factorisez $3$ à partir de $- 24$ .

$4 + \frac{3 \cdot - 8}{3} + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.15.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.4.15.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$4 + \frac{3 \cdot - 8}{3 (1)} + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.15.2.2

Annulez le facteur commun.

$4 + \frac{3 \cdot - 8}{3 \cdot 1} + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.15.2.3

Réécrivez l’expression.

$4 + \frac{- 8}{1} + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.15.2.4

Divisez $- 8$ par $1$ .

$4 - 8 + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.16

Soustrayez $8$ de $4$ .

$- 4 + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.17

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- 4 + 2 (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.18

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 8.2.4.18.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$- 4 + 2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.18.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.4.18.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- 4 + 2 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.18.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 4 + 2 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.18.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 4 + 2 (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.18.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$- 4 + 2 (2 - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.19

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- 4 + 2 (2 - \frac{0}{2})$

Étape 8.2.4.20

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 8.2.4.20.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$- 4 + 2 (2 - \frac{2 (0)}{2})$

Étape 8.2.4.20.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.4.20.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- 4 + 2 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Étape 8.2.4.20.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 4 + 2 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Étape 8.2.4.20.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 4 + 2 (2 - \frac{0}{1})$

Étape 8.2.4.20.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$- 4 + 2 (2 - 0)$

Étape 8.2.4.21

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$- 4 + 2 (2 + 0)$

Étape 8.2.4.22

Additionnez $2$ et $0$ .

$- 4 + 2 \cdot 2$

Étape 8.2.4.23

Multipliez $2$ par $2$ .

$- 4 + 4$

Étape 8.2.4.24

Additionnez $- 4$ et $4$ .

$0$

Étape 9