Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{\sqrt{x}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 1$ et $g (x) = \sqrt{x}$ .

$\frac{\sqrt{x} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\sqrt{x} \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Étape 2.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{x} \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{x} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Étape 3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{x} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Étape 4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{x} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{x} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{x} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Étape 6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{\sqrt{x} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Étape 7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\sqrt{x} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\sqrt{x} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Étape 8.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\sqrt{x} \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1.1

Multipliez $\sqrt{x}$ par $0$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Étape 9.1.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0 - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Étape 9.1.2

Soustrayez $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ de $0$ .

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Étape 9.2

Associez des termes.

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Étape 9.2.1

Réécrivez ${\sqrt{x}}^{2}$ comme $x$ .

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Étape 9.2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 9.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 9.2.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{1}}$

Étape 9.2.1.5

Simplifiez

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 9.2.2

Réécrivez $\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$ comme un produit.

$- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 9.2.3

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{1}{x (2 x^{\frac{1}{2}})}$

Étape 9.2.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{1}{2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})}$

Étape 9.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{1}{2 x^{1 + \frac{1}{2}}}$

Étape 9.2.6

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \frac{1}{2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Étape 9.2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{1}{2 x^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Étape 9.2.8

Additionnez $2$ et $1$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$