Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{2} {(x - 6)}^{2} d x$

Étape 1

Laissez $u = x - 6$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x - 6$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x - 6$ .

$\frac{d}{d x} [x - 6]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 1.1.4

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x - 6$ .

$u_{lower} = 0 - 6$

Étape 1.3

Soustrayez $6$ de $0$ .

$u_{lower} = - 6$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x - 6$ .

$u_{upper} = 2 - 6$

Étape 1.5

Soustrayez $6$ de $2$ .

$u_{upper} = - 4$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = - 6$

$u_{upper} = - 4$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{- 6}^{- 4} u^{2} d u$

Étape 2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3}]_{- 6}^{- 4}$

Étape 3

Remplacez et simplifiez.

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Étape 3.1

Évaluez $\frac{1}{3} u^{3}$ sur $- 4$ et sur $- 6$ .

$(\frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - \frac{1}{3} {(- 6)}^{3}$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Élevez $- 4$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 64 - \frac{1}{3} {(- 6)}^{3}$

Étape 3.2.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 64$ .

$\frac{- 64}{3} - \frac{1}{3} {(- 6)}^{3}$

Étape 3.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{64}{3} - \frac{1}{3} {(- 6)}^{3}$

Étape 3.2.4

Élevez $- 6$ à la puissance $3$ .

$- \frac{64}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 216$

Étape 3.2.5

Multipliez $- 216$ par $- 1$ .

$- \frac{64}{3} + 216 (\frac{1}{3})$

Étape 3.2.6

Associez $216$ et $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{64}{3} + \frac{216}{3}$

Étape 3.2.7

Annulez le facteur commun à $216$ et $3$ .

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Étape 3.2.7.1

Factorisez $3$ à partir de $216$ .

$- \frac{64}{3} + \frac{3 \cdot 72}{3}$

Étape 3.2.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.7.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$- \frac{64}{3} + \frac{3 \cdot 72}{3 (1)}$

Étape 3.2.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{64}{3} + \frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1}$

Étape 3.2.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{64}{3} + \frac{72}{1}$

Étape 3.2.7.2.4

Divisez $72$ par $1$ .

$- \frac{64}{3} + 72$

Étape 3.2.8

Pour écrire $72$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{64}{3} + 72 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 3.2.9

Associez $72$ et $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{64}{3} + \frac{72 \cdot 3}{3}$

Étape 3.2.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 64 + 72 \cdot 3}{3}$

Étape 3.2.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.11.1

Multipliez $72$ par $3$ .

$\frac{- 64 + 216}{3}$

Étape 3.2.11.2

Additionnez $- 64$ et $216$ .

$\frac{152}{3}$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{152}{3}$

Forme décimale :

$50.\overline{6}$

Forme de nombre mixte :

$50 \frac{2}{3}$

Étape 5