Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{2} (y - 1) (2 y + 1) d y$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{0}^{2} y (2 y + 1) - 1 (2 y + 1) d y$

Étape 1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{0}^{2} y (2 y) + y \cdot 1 - 1 (2 y + 1) d y$

Étape 1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{0}^{2} y (2 y) + y \cdot 1 - 1 (2 y) - 1 \cdot 1 d y$

Étape 1.4

Remettez dans l’ordre $y$ et $2$ .

$\int_{0}^{2} 2 \cdot y \cdot y + y \cdot 1 - 1 (2 y) - 1 \cdot 1 d y$

Étape 1.5

Remettez dans l’ordre $y$ et $1$ .

$\int_{0}^{2} 2 \cdot y \cdot y + 1 \cdot y - 1 (2 y) - 1 \cdot 1 d y$

Étape 1.6

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\int_{0}^{2} 2 (y^{1} y) + 1 y - 1 \cdot 2 y - 1 \cdot 1 d y$

Étape 1.7

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\int_{0}^{2} 2 (y^{1} y^{1}) + 1 y - 1 \cdot 2 y - 1 \cdot 1 d y$

Étape 1.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{0}^{2} 2 y^{1 + 1} + 1 y - 1 \cdot 2 y - 1 \cdot 1 d y$

Étape 1.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int_{0}^{2} 2 y^{2} + 1 y - 1 \cdot 2 y - 1 \cdot 1 d y$

Étape 1.10

Multipliez $y$ par $1$ .

$\int_{0}^{2} 2 y^{2} + y - 1 \cdot 2 y - 1 \cdot 1 d y$

Étape 1.11

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\int_{0}^{2} 2 y^{2} + y - 2 y - 1 \cdot 1 d y$

Étape 1.12

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\int_{0}^{2} 2 y^{2} + y - 2 y - 1 d y$

Étape 1.13

Soustrayez $2 y$ de $y$ .

$\int_{0}^{2} 2 y^{2} - y - 1 d y$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{2} 2 y^{2} d y + \int_{0}^{2} - y d y + \int_{0}^{2} - 1 d y$

Étape 3

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int_{0}^{2} y^{2} d y + \int_{0}^{2} - y d y + \int_{0}^{2} - 1 d y$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} y^{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - y d y + \int_{0}^{2} - 1 d y$

Étape 5

Associez $\frac{1}{3}$ et $y^{3}$ .

$2 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - y d y + \int_{0}^{2} - 1 d y$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{2}) - \int_{0}^{2} y d y + \int_{0}^{2} - 1 d y$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{2}) - (\frac{1}{2} y^{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 1 d y$

Étape 8

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$2 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{2}) - (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 1 d y$

Étape 9

Appliquez la règle de la constante.

$2 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{2}) - (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{2}) + - y]_{0}^{2}$

Étape 10

Remplacez et simplifiez.

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Étape 10.1

Évaluez $\frac{y^{3}}{3}$ sur $2$ et sur $0$ .

$2 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{2}) + - y]_{0}^{2}$

Étape 10.2

Évaluez $\frac{y^{2}}{2}$ sur $2$ et sur $0$ .

$2 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + - y]_{0}^{2}$

Étape 10.3

Évaluez $- y$ sur $2$ et sur $0$ .

$2 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Étape 10.4

Simplifiez

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Étape 10.4.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$2 (\frac{8}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Étape 10.4.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$2 (\frac{8}{3} - \frac{0}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Étape 10.4.3

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 10.4.3.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$2 (\frac{8}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Étape 10.4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.4.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$2 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Étape 10.4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Étape 10.4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 (\frac{8}{3} - \frac{0}{1}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Étape 10.4.3.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$2 (\frac{8}{3} - 0) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Étape 10.4.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$2 (\frac{8}{3} + 0) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Étape 10.4.5

Additionnez $\frac{8}{3}$ et $0$ .

$2 (\frac{8}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Étape 10.4.6

Associez $2$ et $\frac{8}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 8}{3} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Étape 10.4.7

Multipliez $2$ par $8$ .

$\frac{16}{3} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Étape 10.4.8

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{16}{3} - (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Étape 10.4.9

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 10.4.9.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{16}{3} - (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Étape 10.4.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.4.9.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{16}{3} - (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Étape 10.4.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{16}{3} - (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Étape 10.4.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{16}{3} - (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Étape 10.4.9.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$\frac{16}{3} - (2 - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Étape 10.4.10

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{16}{3} - (2 - \frac{0}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Étape 10.4.11

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 10.4.11.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$\frac{16}{3} - (2 - \frac{2 (0)}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Étape 10.4.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.4.11.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{16}{3} - (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Étape 10.4.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{16}{3} - (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Étape 10.4.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{16}{3} - (2 - \frac{0}{1}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Étape 10.4.11.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$\frac{16}{3} - (2 - 0) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Étape 10.4.12

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{16}{3} - (2 + 0) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Étape 10.4.13

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{16}{3} - 1 \cdot 2 + (- 1 \cdot 2) + 0$

Étape 10.4.14

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{16}{3} - 2 + (- 1 \cdot 2) + 0$

Étape 10.4.15

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{16}{3} - 2 \cdot \frac{3}{3} + (- 1 \cdot 2) + 0$

Étape 10.4.16

Associez $- 2$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{16}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + (- 1 \cdot 2) + 0$

Étape 10.4.17

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{16 - 2 \cdot 3}{3} + (- 1 \cdot 2) + 0$

Étape 10.4.18

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.4.18.1

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$\frac{16 - 6}{3} + (- 1 \cdot 2) + 0$

Étape 10.4.18.2

Soustrayez $6$ de $16$ .

$\frac{10}{3} + (- 1 \cdot 2) + 0$

Étape 10.4.19

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{10}{3} - 2 + 0$

Étape 10.4.20

Additionnez $- 2$ et $0$ .

$\frac{10}{3} - 2$

Étape 10.4.21

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{10}{3} - 2 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 10.4.22

Associez $- 2$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{10}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3}$

Étape 10.4.23

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{10 - 2 \cdot 3}{3}$

Étape 10.4.24

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.4.24.1

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$\frac{10 - 6}{3}$

Étape 10.4.24.2

Soustrayez $6$ de $10$ .

$\frac{4}{3}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{4}{3}$

Forme décimale :

$1.\overline{3}$

Forme de nombre mixte :

$1 \frac{1}{3}$

Étape 12