Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{2} \frac{1}{1 - x^{2}} d x$

Étape 1

Écrivez la fraction en utilisant la décomposition en fractions partielles.

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Étape 1.1

Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.

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Étape 1.1.1

Factorisez la fraction.

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Étape 1.1.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1}{1^{2} - x^{2}}$

Étape 1.1.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$\frac{1}{(1 + x) (1 - x)}$

Étape 1.1.2

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place $A$ .

$\frac{A}{1 + x}$

Étape 1.1.3

$\frac{A}{1 + x} + \frac{B}{1 - x}$

Étape 1.1.4

Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{1 (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Étape 1.1.5

Annulez le facteur commun de $1 + x$ .

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Étape 1.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Étape 1.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 (1 - x)}{1 - x} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Étape 1.1.6

Annulez le facteur commun de $1 - x$ .

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Étape 1.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 (1 - x)}{1 - x} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Étape 1.1.6.2

Réécrivez l’expression.

$1 = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Étape 1.1.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.7.1

Annulez le facteur commun de $1 + x$ .

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Étape 1.1.7.1.1

Annulez le facteur commun.

$1 = \frac{A (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Étape 1.1.7.1.2

Divisez $(A) (1 - x)$ par $1$ .

$1 = (A) (1 - x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Étape 1.1.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 = A \cdot 1 + A (- x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Étape 1.1.7.3

Multipliez $A$ par $1$ .

$1 = A + A (- x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Étape 1.1.7.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 = A - A x + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Étape 1.1.7.5

Annulez le facteur commun de $1 - x$ .

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Étape 1.1.7.5.1

Annulez le facteur commun.

$1 = A - A x + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Étape 1.1.7.5.2

Divisez $(B) (1 + x)$ par $1$ .

$1 = A - A x + (B) (1 + x)$

Étape 1.1.7.6

Appliquez la propriété distributive.

$1 = A - A x + B \cdot 1 + B x$

Étape 1.1.7.7

Multipliez $B$ par $1$ .

$1 = A - A x + B + B x$

Étape 1.1.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.8.1

Déplacez $A$ .

$1 = A - x A + B + B x$

Étape 1.1.8.2

Remettez dans l’ordre $B$ et $x$ .

$1 = A - x A + B + B x$

Étape 1.1.8.3

Déplacez $B$ .

$1 = A - x A + B x + B$

Étape 1.1.8.4

Déplacez $A$ .

$1 = - x A + B x + A + B$

Étape 1.2

Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.

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Étape 1.2.1

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$0 = - 1 A + B$

Étape 1.2.2

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas $x$ . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$1 = A + B$

Étape 1.2.3

Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.

$0 = - 1 A + B$

$1 = A + B$

$0 = - 1 A + B$

$1 = A + B$

Étape 1.3

Résolvez le système d’équations.

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Étape 1.3.1

Résolvez $A$ dans $1 = A + B$ .

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Étape 1.3.1.1

Réécrivez l’équation comme $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$0 = - 1 A + B$

Étape 1.3.1.2

Soustrayez $B$ des deux côtés de l’équation.

$A = 1 - B$

$0 = - 1 A + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 A + B$

Étape 1.3.2

Remplacez toutes les occurrences de $A$ par $1 - B$ dans chaque équation.

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Étape 1.3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $A$ dans $0 = - 1 A + B$ par $1 - B$ .

$0 = - 1 (1 - B) + B$

$A = 1 - B$

Étape 1.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.2.2.1

Simplifiez $- 1 (1 - B) + B$ .

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Étape 1.3.2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$0 = - 1 \cdot 1 - 1 (- B) + B$

$A = 1 - B$

Étape 1.3.2.2.1.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 = - 1 - 1 (- B) + B$

$A = 1 - B$

Étape 1.3.2.2.1.1.3

Multipliez $- 1 (- B)$ .

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Étape 1.3.2.2.1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$0 = - 1 + 1 B + B$

$A = 1 - B$

Étape 1.3.2.2.1.1.3.2

Multipliez $B$ par $1$ .

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

Étape 1.3.2.2.1.2

Additionnez $B$ et $B$ .

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

Étape 1.3.3

Résolvez $B$ dans $0 = - 1 + 2 B$ .

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Étape 1.3.3.1

Réécrivez l’équation comme $- 1 + 2 B = 0$ .

$- 1 + 2 B = 0$

$A = 1 - B$

Étape 1.3.3.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 B = 1$

$A = 1 - B$

Étape 1.3.3.3

Divisez chaque terme dans $2 B = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 1.3.3.3.1

Divisez chaque terme dans $2 B = 1$ par $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Étape 1.3.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.3.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.3.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Étape 1.3.3.3.2.1.2

Divisez $B$ par $1$ .

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Étape 1.3.4

Remplacez toutes les occurrences de $B$ par $\frac{1}{2}$ dans chaque équation.

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Étape 1.3.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $B$ dans $A = 1 - B$ par $\frac{1}{2}$ .

$A = 1 - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

Étape 1.3.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.4.2.1

Simplifiez $1 - (\frac{1}{2})$ .

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Étape 1.3.4.2.1.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$A = \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Étape 1.3.4.2.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A = \frac{2 - 1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Étape 1.3.4.2.1.3

Soustrayez $1$ de $2$ .

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Étape 1.3.5

Indiquez toutes les solutions.

$A = \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

Étape 1.4

Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans $\frac{A}{1 + x} + \frac{B}{1 - x}$ par les valeurs trouvées pour $A$ et $B$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{1 + x} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + x} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

Étape 1.5.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{1 + x}$ .

$\frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

Étape 1.5.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - x}$

Étape 1.5.4

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{1 - x}$ .

$\int_{0}^{2} \frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{1}{2 (1 - x)} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{2} \frac{1}{2 (1 + x)} d x + \int_{0}^{2} \frac{1}{2 (1 - x)} d x$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{2} \frac{1}{1 + x} d x + \int_{0}^{2} \frac{1}{2 (1 - x)} d x$

Étape 4

Laissez $u_{1} = 1 + x$ . Puis $d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 4.1

Laissez $u_{1} = 1 + x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Étape 4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 1$

Étape 4.1.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$

Étape 4.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u_{1} = 1 + x$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Étape 4.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 4.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u_{1} = 1 + x$ .

$u_{upper} = 1 + 2$

Étape 4.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$u_{upper} = 3$

Étape 4.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 3$

Étape 4.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ , $d u_{1}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{2} \frac{1}{2 (1 - x)} d x$

Étape 5

L’intégrale de $\frac{1}{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |)]_{1}^{3} + \int_{0}^{2} \frac{1}{2 (1 - x)} d x$

Étape 6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |)]_{1}^{3} + \frac{1}{2} \int_{0}^{2} \frac{1}{1 - x} d x$

Étape 7

Laissez $u_{2} = 1 - x$ . Alors $d u_{2} = - d x$ , donc $- d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 7.1

Laissez $u_{2} = 1 - x$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 7.1.1

Réécrivez.

$\frac{- 1}{1}$

Étape 7.1.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 7.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u_{2} = 1 - x$ .

$u_{lower} = 1 - 0$

Étape 7.3

Soustrayez $0$ de $1$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 7.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u_{2} = 1 - x$ .

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 2$

Étape 7.5

Simplifiez

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Étape 7.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$u_{upper} = 1 - 2$

Étape 7.5.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$u_{upper} = - 1$

Étape 7.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = - 1$

Étape 7.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ , $d u_{2}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |)]_{1}^{3} + \frac{1}{2} \int_{1}^{- 1} \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |)]_{1}^{3} + \frac{1}{2} \int_{1}^{- 1} - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |)]_{1}^{3} + \frac{1}{2} (- \int_{1}^{- 1} \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Étape 10

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |)]_{1}^{3} + \frac{1}{2} (- (\ln (| u_{2} |)]_{1}^{- 1}))$

Étape 11

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (| u_{2} |)]_{1}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |)]_{1}^{3} - \frac{\ln (| u_{2} |)]_{1}^{- 1}}{2}$

Étape 12

Remplacez et simplifiez.

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Étape 12.1

Évaluez $\ln (| u_{1} |)$ sur $3$ et sur $1$ .

$\frac{1}{2} ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |)) - \frac{\ln (| u_{2} |)]_{1}^{- 1}}{2}$

Étape 12.2

Évaluez $\ln (| u_{2} |)$ sur $- 1$ et sur $1$ .

$\frac{1}{2} ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |)) - \frac{(\ln (| - 1 |)) - \ln (| 1 |)}{2}$

Étape 12.3

Simplifiez

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Étape 12.3.1

Pour écrire $\frac{1}{2} (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |))$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |)) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (| - 1 |) - \ln (| 1 |)}{2}$

Étape 12.3.2

Associez $\frac{1}{2} (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |))$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2} (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 2}{2} - \frac{\ln (| - 1 |) - \ln (| 1 |)}{2}$

Étape 12.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{1}{2} (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 2 - (\ln (| - 1 |) - \ln (| 1 |))}{2}$

Étape 12.3.4

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{2}{2} (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |)) - (\ln (| - 1 |) - \ln (| 1 |))}{2}$

Étape 12.3.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.3.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{2}{2} (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |)) - (\ln (| - 1 |) - \ln (| 1 |))}{2}$

Étape 12.3.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |)) - (\ln (| - 1 |) - \ln (| 1 |))}{2}$

Étape 12.3.6

Multipliez $\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |)$ par $1$ .

$\frac{\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |) - (\ln (| - 1 |) - \ln (| 1 |))}{2}$

Étape 13

Simplifiez

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Étape 13.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 1 |}) - (\ln (| - 1 |) - \ln (| 1 |))}{2}$

Étape 13.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 1 |}) - \ln (\frac{| - 1 |}{| 1 |})}{2}$

Étape 13.3

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{\frac{| 3 |}{| 1 |}}{\frac{| - 1 |}{| 1 |}})}{2}$

Étape 13.4

Réécrivez $\frac{\frac{| 3 |}{| 1 |}}{\frac{| - 1 |}{| 1 |}}$ comme un produit.

$\frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 1 |} \cdot \frac{1}{\frac{| - 1 |}{| 1 |}})}{2}$

Étape 13.5

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{| - 1 |}{| 1 |}$ .

$\frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 1 |} (1 \frac{| 1 |}{| - 1 |}))}{2}$

Étape 13.6

Multipliez $\frac{| 1 |}{| - 1 |}$ par $1$ .

$\frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 1 |} \cdot \frac{| 1 |}{| - 1 |})}{2}$

Étape 13.7

Multipliez $\frac{| 3 |}{| 1 |}$ par $\frac{| 1 |}{| - 1 |}$ .

$\frac{\ln (\frac{| 3 | | 1 |}{| 1 | | - 1 |})}{2}$

Étape 13.8

Pour multiplier des valeurs absolues, multipliez les termes à l’intérieur de chaque valeur absolue.

$\frac{\ln (\frac{| 3 \cdot 1 |}{| 1 | | - 1 |})}{2}$

Étape 13.9

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 1 | | - 1 |})}{2}$

Étape 13.10

Pour multiplier des valeurs absolues, multipliez les termes à l’intérieur de chaque valeur absolue.

$\frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 1 \cdot - 1 |})}{2}$

Étape 13.11

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\ln (\frac{| 3 |}{| - 1 |})}{2}$

Étape 14

Simplifiez

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Étape 14.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $3$ est $3$ .

$\frac{\ln (\frac{3}{| - 1 |})}{2}$

Étape 14.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $- 1$ et $0$ est $1$ .

$\frac{\ln (\frac{3}{1})}{2}$

Étape 14.3

Divisez $3$ par $1$ .

$\frac{\ln (3)}{2}$

Étape 15

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\ln (3)}{2}$

Forme décimale :

$0.54930614 \dots$

Étape 16