Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{2} \frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} d x$

Étape 1

Laissez $u = x - 1$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x - 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x - 1$ .

$u_{lower} = 0 - 1$

Étape 1.3

Soustrayez $1$ de $0$ .

$u_{lower} = - 1$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x - 1$ .

$u_{upper} = 2 - 1$

Étape 1.5

Soustrayez $1$ de $2$ .

$u_{upper} = 1$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 1$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{- 1}^{1} \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

Étape 2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.1

Retirez $u^{\frac{2}{3}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int_{- 1}^{1} {(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d u$

Étape 2.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{- 1}^{1} u^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d u$

Étape 2.2.2

Multipliez $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Étape 2.2.2.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $- 1$ .

$\int_{- 1}^{1} u^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d u$

Étape 2.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int_{- 1}^{1} u^{\frac{- 2}{3}} d u$

Étape 2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int_{- 1}^{1} u^{- \frac{2}{3}} d u$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{2}{3}}$ par rapport à $u$ est $3 u^{\frac{1}{3}}$ .

$3 u^{\frac{1}{3}}]_{- 1}^{1}$

Étape 4

Remplacez et simplifiez.

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Étape 4.1

Évaluez $3 u^{\frac{1}{3}}$ sur $1$ et sur $- 1$ .

$(3 \cdot 1^{\frac{1}{3}}) - 3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$3 \cdot 1 - 3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 4.2.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 - 3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 4.2.3

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$3 - 3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 4.2.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 - 3 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}$

Étape 4.2.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$3 - 3 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}$

Étape 4.2.5.2

Réécrivez l’expression.

$3 - 3 {(- 1)}^{1}$

Étape 4.2.6

Évaluez l’exposant.

$3 - 3 \cdot - 1$

Étape 4.2.7

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$3 + 3$

Étape 4.2.8

Additionnez $3$ et $3$ .

$6$

Étape 5