Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{2} (2 x - 3) (4 x^{2} + 1) d x$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{0}^{2} 2 x (4 x^{2} + 1) - 3 (4 x^{2} + 1) d x$

Étape 1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{0}^{2} 2 x (4 x^{2}) + 2 x \cdot 1 - 3 (4 x^{2} + 1) d x$

Étape 1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{0}^{2} 2 x (4 x^{2}) + 2 x \cdot 1 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot 1 d x$

Étape 1.4

Déplacez $x$ .

$\int_{0}^{2} 2 \cdot 4 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 1 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot 1 d x$

Étape 1.5

Déplacez $x$ .

$\int_{0}^{2} 2 \cdot 4 x \cdot x^{2} + 2 \cdot 1 x - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot 1 d x$

Étape 1.6

Multipliez $2$ par $4$ .

$\int_{0}^{2} 8 x \cdot x^{2} + 2 \cdot 1 x - 3 \cdot 4 x^{2} - 3 \cdot 1 d x$

Étape 1.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int_{0}^{2} 8 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 1 x - 3 \cdot 4 x^{2} - 3 \cdot 1 d x$

Étape 1.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{0}^{2} 8 x^{1 + 2} + 2 \cdot 1 x - 3 \cdot 4 x^{2} - 3 \cdot 1 d x$

Étape 1.9

Additionnez $1$ et $2$ .

$\int_{0}^{2} 8 x^{3} + 2 \cdot 1 x - 3 \cdot 4 x^{2} - 3 \cdot 1 d x$

Étape 1.10

Multipliez $2$ par $1$ .

$\int_{0}^{2} 8 x^{3} + 2 x - 3 \cdot 4 x^{2} - 3 \cdot 1 d x$

Étape 1.11

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$\int_{0}^{2} 8 x^{3} + 2 x - 12 x^{2} - 3 \cdot 1 d x$

Étape 1.12

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$\int_{0}^{2} 8 x^{3} + 2 x - 12 x^{2} - 3 d x$

Étape 1.13

Déplacez $2 x$ .

$\int_{0}^{2} 8 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 3 d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{2} 8 x^{3} d x + \int_{0}^{2} - 12 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 2 x d x + \int_{0}^{2} - 3 d x$

Étape 3

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , placez $8$ en dehors de l’intégrale.

$8 \int_{0}^{2} x^{3} d x + \int_{0}^{2} - 12 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 2 x d x + \int_{0}^{2} - 3 d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$8 (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 12 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 2 x d x + \int_{0}^{2} - 3 d x$

Étape 5

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$8 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 12 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 2 x d x + \int_{0}^{2} - 3 d x$

Étape 6

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 12$ en dehors de l’intégrale.

$8 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 12 \int_{0}^{2} x^{2} d x + \int_{0}^{2} 2 x d x + \int_{0}^{2} - 3 d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$8 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 12 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 2 x d x + \int_{0}^{2} - 3 d x$

Étape 8

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$8 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 2 x d x + \int_{0}^{2} - 3 d x$

Étape 9

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$8 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 2 \int_{0}^{2} x d x + \int_{0}^{2} - 3 d x$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$8 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 3 d x$

Étape 11

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$8 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 3 d x$

Étape 12

Appliquez la règle de la constante.

$8 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + - 3 x]_{0}^{2}$

Étape 13

Remplacez et simplifiez.

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Étape 13.1

Évaluez $\frac{x^{4}}{4}$ sur $2$ et sur $0$ .

$8 ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}) - 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + - 3 x]_{0}^{2}$

Étape 13.2

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $2$ et sur $0$ .

$8 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + - 3 x]_{0}^{2}$

Étape 13.3

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $2$ et sur $0$ .

$8 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + - 3 x]_{0}^{2}$

Étape 13.4

Évaluez $- 3 x$ sur $2$ et sur $0$ .

$8 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Étape 13.5

Simplifiez

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Étape 13.5.1

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$8 (\frac{16}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Étape 13.5.2

Annulez le facteur commun à $16$ et $4$ .

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Étape 13.5.2.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$8 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Étape 13.5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.5.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$8 (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{0^{4}}{4}) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Étape 13.5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$8 (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{0^{4}}{4}) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Étape 13.5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$8 (\frac{4}{1} - \frac{0^{4}}{4}) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Étape 13.5.2.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$8 (4 - \frac{0^{4}}{4}) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Étape 13.5.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$8 (4 - \frac{0}{4}) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Étape 13.5.4

Annulez le facteur commun à $0$ et $4$ .

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Étape 13.5.4.1

Factorisez $4$ à partir de $0$ .

$8 (4 - \frac{4 (0)}{4}) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Étape 13.5.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.5.4.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$8 (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Étape 13.5.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$8 (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Étape 13.5.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$8 (4 - \frac{0}{1}) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Étape 13.5.4.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$8 (4 - 0) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Étape 13.5.5

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$8 (4 + 0) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Étape 13.5.6

Additionnez $4$ et $0$ .

$8 \cdot 4 - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Étape 13.5.7

Multipliez $8$ par $4$ .

$32 - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Étape 13.5.8

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$32 - 12 (\frac{8}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Étape 13.5.9

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$32 - 12 (\frac{8}{3} - \frac{0}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Étape 13.5.10

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 13.5.10.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$32 - 12 (\frac{8}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Étape 13.5.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.5.10.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$32 - 12 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Étape 13.5.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$32 - 12 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Étape 13.5.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$32 - 12 (\frac{8}{3} - \frac{0}{1}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Étape 13.5.10.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$32 - 12 (\frac{8}{3} - 0) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Étape 13.5.11

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$32 - 12 (\frac{8}{3} + 0) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Étape 13.5.12

Additionnez $\frac{8}{3}$ et $0$ .

$32 - 12 (\frac{8}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Étape 13.5.13

Associez $- 12$ et $\frac{8}{3}$ .

$32 + \frac{- 12 \cdot 8}{3} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Étape 13.5.14

Multipliez $- 12$ par $8$ .

$32 + \frac{- 96}{3} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Étape 13.5.15

Annulez le facteur commun à $- 96$ et $3$ .

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Étape 13.5.15.1

Factorisez $3$ à partir de $- 96$ .

$32 + \frac{3 \cdot - 32}{3} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Étape 13.5.15.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.5.15.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$32 + \frac{3 \cdot - 32}{3 (1)} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Étape 13.5.15.2.2

Annulez le facteur commun.

$32 + \frac{3 \cdot - 32}{3 \cdot 1} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Étape 13.5.15.2.3

Réécrivez l’expression.

$32 + \frac{- 32}{1} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Étape 13.5.15.2.4

Divisez $- 32$ par $1$ .

$32 - 32 + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Étape 13.5.16

Soustrayez $32$ de $32$ .

$0 + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Étape 13.5.17

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$0 + 2 (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Étape 13.5.18

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 13.5.18.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$0 + 2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Étape 13.5.18.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.5.18.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$0 + 2 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Étape 13.5.18.2.2

Annulez le facteur commun.

$0 + 2 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Étape 13.5.18.2.3

Réécrivez l’expression.

$0 + 2 (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Étape 13.5.18.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$0 + 2 (2 - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Étape 13.5.19

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + 2 (2 - \frac{0}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Étape 13.5.20

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 13.5.20.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$0 + 2 (2 - \frac{2 (0)}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Étape 13.5.20.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.5.20.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$0 + 2 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Étape 13.5.20.2.2

Annulez le facteur commun.

$0 + 2 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Étape 13.5.20.2.3

Réécrivez l’expression.

$0 + 2 (2 - \frac{0}{1}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Étape 13.5.20.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$0 + 2 (2 - 0) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Étape 13.5.21

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0 + 2 (2 + 0) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Étape 13.5.22

Additionnez $2$ et $0$ .

$0 + 2 \cdot 2 - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Étape 13.5.23

Multipliez $2$ par $2$ .

$0 + 4 - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Étape 13.5.24

Additionnez $0$ et $4$ .

$4 - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Étape 13.5.25

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$4 - 6 + 3 \cdot 0$

Étape 13.5.26

Multipliez $3$ par $0$ .

$4 - 6 + 0$

Étape 13.5.27

Additionnez $- 6$ et $0$ .

$4 - 6$

Étape 13.5.28

Soustrayez $6$ de $4$ .

$- 2$

Étape 14