Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{2} \sin (π x) - (x^{3} - 4 x) d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{2} \sin (π x) d x + \int_{0}^{2} - (x^{3} - 4 x) d x$

Étape 2

Laissez $u = π x$ . Alors $d u = π d x$ , donc $\frac{1}{π} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = π x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $π x$ .

$\frac{d}{d x} [π x]$

Étape 2.1.2

Comme $π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $π x$ par rapport à $x$ est $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$π \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Étape 2.1.4

Multipliez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 2.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = π x$ .

$u_{lower} = π \cdot 0$

Étape 2.3

Multipliez $π$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 2.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = π x$ .

$u_{upper} = π \cdot 2$

Étape 2.5

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$u_{upper} = 2 π$

Étape 2.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

Étape 2.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0}^{2 π} \sin (u) \frac{1}{π} d u + \int_{0}^{2} - (x^{3} - 4 x) d x$

Étape 3

Associez $\sin (u)$ et $\frac{1}{π}$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{\sin (u)}{π} d u + \int_{0}^{2} - (x^{3} - 4 x) d x$

Étape 4

Comme $\frac{1}{π}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{π}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{π} \int_{0}^{2 π} \sin (u) d u + \int_{0}^{2} - (x^{3} - 4 x) d x$

Étape 5

L’intégrale de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} + \int_{0}^{2} - (x^{3} - 4 x) d x$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{2} x^{3} - 4 x d x$

Étape 7

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - (\int_{0}^{2} x^{3} d x + \int_{0}^{2} - 4 x d x)$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - 4 x d x)$

Étape 9

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - 4 x d x)$

Étape 10

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 4$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2} - 4 \int_{0}^{2} x d x)$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2} - 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2}))$

Étape 12

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}))$

Étape 13

Remplacez et simplifiez.

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Étape 13.1

Évaluez $- \cos (u)$ sur $2 π$ et sur $0$ .

$\frac{1}{π} ((- \cos (2 π)) + \cos (0)) - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}))$

Étape 13.2

Évaluez $\frac{x^{4}}{4}$ sur $2$ et sur $0$ .

$\frac{1}{π} ((- \cos (2 π)) + \cos (0)) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}))$

Étape 13.3

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $2$ et sur $0$ .

$\frac{1}{π} ((- \cos (2 π)) + \cos (0)) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Étape 13.4

Simplifiez

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Étape 13.4.1

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (\frac{16}{4} - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Étape 13.4.2

Annulez le facteur commun à $16$ et $4$ .

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Étape 13.4.2.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Étape 13.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.4.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Étape 13.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Étape 13.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (\frac{4}{1} - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Étape 13.4.2.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Étape 13.4.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - \frac{0}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Étape 13.4.4

Annulez le facteur commun à $0$ et $4$ .

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Étape 13.4.4.1

Factorisez $4$ à partir de $0$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - \frac{4 (0)}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Étape 13.4.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.4.4.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Étape 13.4.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Étape 13.4.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - \frac{0}{1} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Étape 13.4.4.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 0 - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Étape 13.4.5

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 + 0 - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Étape 13.4.6

Additionnez $4$ et $0$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Étape 13.4.7

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Étape 13.4.8

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 13.4.8.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Étape 13.4.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.4.8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}))$

Étape 13.4.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}))$

Étape 13.4.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2}))$

Étape 13.4.8.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - \frac{0^{2}}{2}))$

Étape 13.4.9

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - \frac{0}{2}))$

Étape 13.4.10

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 13.4.10.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - \frac{2 (0)}{2}))$

Étape 13.4.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.4.10.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}))$

Étape 13.4.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}))$

Étape 13.4.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - \frac{0}{1}))$

Étape 13.4.10.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - 0))$

Étape 13.4.11

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 + 0))$

Étape 13.4.12

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 \cdot 2)$

Étape 13.4.13

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 8)$

Étape 13.4.14

Soustrayez $8$ de $4$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - - 4$

Étape 13.4.15

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) + 4$

Étape 14

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + 1) + 4$

Étape 15

Simplifiez

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Étape 15.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (0) + 1) + 4$

Étape 15.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{π} (- 1 \cdot 1 + 1) + 4$

Étape 15.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{π} (- 1 + 1) + 4$

Étape 15.4

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$\frac{1}{π} \cdot 0 + 4$

Étape 15.5

Multipliez $\frac{1}{π}$ par $0$ .

$0 + 4$

Étape 15.6

Additionnez $0$ et $4$ .

$4$