Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} 24 e^{4 x} d x$

Étape 1

Comme $24$ est constant par rapport à $x$ , placez $24$ en dehors de l’intégrale.

$24 \int_{0}^{1} e^{4 x} d x$

Étape 2

Laissez $u = 4 x$ . Alors $d u = 4 d x$ , donc $\frac{1}{4} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = 4 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 2.1.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Étape 2.1.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$4$

Étape 2.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 4 x$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 0$

Étape 2.3

Multipliez $4$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 2.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 4 x$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 1$

Étape 2.5

Multipliez $4$ par $1$ .

$u_{upper} = 4$

Étape 2.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 4$

Étape 2.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$24 \int_{0}^{4} e^{u} \frac{1}{4} d u$

Étape 3

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{4}$ .

$24 \int_{0}^{4} \frac{e^{u}}{4} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$24 (\frac{1}{4} \int_{0}^{4} e^{u} d u)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $24$ .

$\frac{24}{4} \int_{0}^{4} e^{u} d u$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun à $24$ et $4$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$\frac{4 \cdot 6}{4} \int_{0}^{4} e^{u} d u$

Étape 5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{4 \cdot 6}{4 (1)} \int_{0}^{4} e^{u} d u$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot 6}{4 \cdot 1} \int_{0}^{4} e^{u} d u$

Étape 5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{6}{1} \int_{0}^{4} e^{u} d u$

Étape 5.2.2.4

Divisez $6$ par $1$ .

$6 \int_{0}^{4} e^{u} d u$

Étape 6

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$6 (e^{u}]_{0}^{4})$

Étape 7

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.1

Évaluez $e^{u}$ sur $4$ et sur $0$ .

$6 ((e^{4}) - e^{0})$

Étape 7.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$6 (e^{4} - 1 \cdot 1)$

Étape 7.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$6 (e^{4} - 1)$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Appliquez la propriété distributive.

$6 e^{4} + 6 \cdot - 1$

Étape 8.2

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$6 e^{4} - 6$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$6 e^{4} - 6$

Forme décimale :

$321.58890019 \dots$

Étape 10