Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} \frac{y}{e^{8 y}} d y$

Étape 1

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Inversez l’exposant de $e^{8 y}$ et placez-le hors du dénominateur.

$\int_{0}^{1} y {(e^{8 y})}^{- 1} d y$

Étape 1.2

Multipliez les exposants dans ${(e^{8 y})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{1} y e^{8 y \cdot - 1} d y$

Étape 1.2.2

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$\int_{0}^{1} y e^{- 8 y} d y$

Étape 2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = y$ et $d v = e^{- 8 y}$ .

$y (- \frac{1}{8} e^{- 8 y})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{1}{8} e^{- 8 y} d y$

Étape 3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Associez $e^{- 8 y}$ et $\frac{1}{8}$ .

$y (- \frac{e^{- 8 y}}{8})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{1}{8} e^{- 8 y} d y$

Étape 3.2

Associez $y$ et $\frac{e^{- 8 y}}{8}$ .

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{1}{8} e^{- 8 y} d y$

Étape 4

Comme $- \frac{1}{8}$ est constant par rapport à $y$ , placez $- \frac{1}{8}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} - (- \frac{1}{8} \int_{0}^{1} e^{- 8 y} d y)$

Étape 5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + 1 (\frac{1}{8} \int_{0}^{1} e^{- 8 y} d y)$

Étape 5.2

Multipliez $\frac{1}{8}$ par $1$ .

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + \frac{1}{8} \int_{0}^{1} e^{- 8 y} d y$

Étape 6

Laissez $u = - 8 y$ . Alors $d u = - 8 d y$ , donc $- \frac{1}{8} d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Laissez $u = - 8 y$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1

Différenciez $- 8 y$ .

$\frac{d}{d y} [- 8 y]$

Étape 6.1.2

Comme $- 8$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 8 y$ par rapport à $y$ est $- 8 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 8 \frac{d}{d y} [y]$

Étape 6.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 8 \cdot 1$

Étape 6.1.4

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$- 8$

Étape 6.2

Remplacez la limite inférieure pour $y$ dans $u = - 8 y$ .

$u_{lower} = - 8 \cdot 0$

Étape 6.3

Multipliez $- 8$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 6.4

Remplacez la limite supérieure pour $y$ dans $u = - 8 y$ .

$u_{upper} = - 8 \cdot 1$

Étape 6.5

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$u_{upper} = - 8$

Étape 6.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 8$

Étape 6.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + \frac{1}{8} \int_{0}^{- 8} e^{u} \frac{1}{- 8} d u$

Étape 7

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + \frac{1}{8} \int_{0}^{- 8} e^{u} (- \frac{1}{8}) d u$

Étape 7.2

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{8}$ .

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + \frac{1}{8} \int_{0}^{- 8} - \frac{e^{u}}{8} d u$

Étape 8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + \frac{1}{8} (- \int_{0}^{- 8} \frac{e^{u}}{8} d u)$

Étape 9

Comme $\frac{1}{8}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{8}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + \frac{1}{8} (- (\frac{1}{8} \int_{0}^{- 8} e^{u} d u))$

Étape 10

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Multipliez $\frac{1}{8}$ par $\frac{1}{8}$ .

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} - \frac{1}{8 \cdot 8} \int_{0}^{- 8} e^{u} d u$

Étape 10.2

Multipliez $8$ par $8$ .

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} - \frac{1}{64} \int_{0}^{- 8} e^{u} d u$

Étape 11

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} - \frac{1}{64} e^{u}]_{0}^{- 8}$

Étape 12

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Évaluez $- \frac{y e^{- 8 y}}{8}$ sur $1$ et sur $0$ .

$(- \frac{1 e^{- 8 \cdot 1}}{8}) + \frac{0 e^{- 8 \cdot 0}}{8} - \frac{1}{64} e^{u}]_{0}^{- 8}$

Étape 12.2

Évaluez $e^{u}$ sur $- 8$ et sur $0$ .

$(- \frac{1 e^{- 8 \cdot 1}}{8}) + \frac{0 e^{- 8 \cdot 0}}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Étape 12.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.3.1

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$- \frac{1 e^{- 8}}{8} + \frac{0 e^{- 8 \cdot 0}}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Étape 12.3.2

Multipliez $e^{- 8}$ par $1$ .

$- \frac{e^{- 8}}{8} + \frac{0 e^{- 8 \cdot 0}}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Étape 12.3.3

Placez $e^{- 8}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{0 e^{- 8 \cdot 0}}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Étape 12.3.4

Multipliez $- 8$ par $0$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{0 e^{0}}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Étape 12.3.5

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{0 \cdot 1}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Étape 12.3.6

Multipliez $0$ par $1$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{0}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Étape 12.3.7

Annulez le facteur commun à $0$ et $8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.3.7.1

Factorisez $8$ à partir de $0$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{8 (0)}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Étape 12.3.7.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.3.7.2.1

Factorisez $8$ à partir de $8$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{8 \cdot 0}{8 \cdot 1} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Étape 12.3.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{8 \cdot 0}{8 \cdot 1} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Étape 12.3.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{0}{1} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Étape 12.3.7.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} + 0 - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Étape 12.3.8

Additionnez $- \frac{1}{8 e^{8}}$ et $0$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Étape 12.3.9

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} - \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1 \cdot 1)$

Étape 12.3.10

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} - \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1)$

Étape 12.3.11

Pour écrire $- \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{8 e^{8}}{8 e^{8}}$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} - \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1) \cdot \frac{8 e^{8}}{8 e^{8}}$

Étape 12.3.12

Associez $- \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1)$ et $\frac{8 e^{8}}{8 e^{8}}$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{- \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1) (8 e^{8})}{8 e^{8}}$

Étape 12.3.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 1 - \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1) (8 e^{8})}{8 e^{8}}$

Étape 12.3.14

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$\frac{- 1 - 8 (\frac{1}{64}) (e^{- 8} - 1) e^{8}}{8 e^{8}}$

Étape 12.3.15

Associez $- 8$ et $\frac{1}{64}$ .

$\frac{- 1 + \frac{- 8}{64} (e^{- 8} - 1) e^{8}}{8 e^{8}}$

Étape 12.3.16

Associez $e^{8}$ et $\frac{- 8}{64}$ .

$\frac{- 1 + \frac{e^{8} \cdot - 8}{64} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

Étape 12.3.17

Déplacez $- 8$ à gauche de $e^{8}$ .

$\frac{- 1 + \frac{- 8 \cdot e^{8}}{64} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

Étape 12.3.18

Annulez le facteur commun à $- 8$ et $64$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.3.18.1

Factorisez $8$ à partir de $- 8 e^{8}$ .

$\frac{- 1 + \frac{8 (- e^{8})}{64} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

Étape 12.3.18.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.3.18.2.1

Factorisez $8$ à partir de $64$ .

$\frac{- 1 + \frac{8 (- e^{8})}{8 (8)} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

Étape 12.3.18.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1 + \frac{8 (- e^{8})}{8 \cdot 8} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

Étape 12.3.18.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1 + \frac{- e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

Étape 12.3.19

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{- 1 - \frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

Étape 13

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) - \frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

Étape 13.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1)$ .

$\frac{- 1 (1) - (\frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1))}{8 e^{8}}$

Étape 13.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (\frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1))$ .

$\frac{- 1 (1 + \frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1))}{8 e^{8}}$

Étape 13.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1 + \frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

Étape 14

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1 + \frac{e^{8}}{8} e^{- 8} + \frac{e^{8}}{8} \cdot - 1}{8 e^{8}}$

Étape 14.1.2

Multipliez $\frac{e^{8}}{8} e^{- 8}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1.2.1

Associez $\frac{e^{8}}{8}$ et $e^{- 8}$ .

$- \frac{1 + \frac{e^{8} e^{- 8}}{8} + \frac{e^{8}}{8} \cdot - 1}{8 e^{8}}$

Étape 14.1.2.2

Multipliez $e^{8}$ par $e^{- 8}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1.2.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{1 + \frac{e^{8 - 8}}{8} + \frac{e^{8}}{8} \cdot - 1}{8 e^{8}}$

Étape 14.1.2.2.2

Soustrayez $8$ de $8$ .

$- \frac{1 + \frac{e^{0}}{8} + \frac{e^{8}}{8} \cdot - 1}{8 e^{8}}$

Étape 14.1.2.3

Simplifiez $e^{0}$ .

$- \frac{1 + \frac{1}{8} + \frac{e^{8}}{8} \cdot - 1}{8 e^{8}}$

Étape 14.1.3

Associez $\frac{e^{8}}{8}$ et $- 1$ .

$- \frac{1 + \frac{1}{8} + \frac{e^{8} \cdot - 1}{8}}{8 e^{8}}$

Étape 14.1.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1.4.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{8}$ .

$- \frac{1 + \frac{1}{8} + \frac{- 1 \cdot e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

Étape 14.1.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1 + \frac{1}{8} - \frac{e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

Étape 14.1.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \frac{\frac{8}{8} + \frac{1}{8} - \frac{e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

Étape 14.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{\frac{8 + 1}{8} - \frac{e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

Étape 14.1.7

Additionnez $8$ et $1$ .

$- \frac{\frac{9}{8} - \frac{e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

Étape 14.1.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{\frac{9 - e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

Étape 14.1.9

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1.9.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$- \frac{\frac{3^{2} - e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

Étape 14.1.9.2

Réécrivez $e^{8}$ comme ${(e^{4})}^{2}$ .

$- \frac{\frac{3^{2} - {(e^{4})}^{2}}{8}}{8 e^{8}}$

Étape 14.1.9.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 3$ et $b = e^{4}$ .

$- \frac{\frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4})}{8}}{8 e^{8}}$

Étape 14.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- (\frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4})}{8} \cdot \frac{1}{8 e^{8}})$

Étape 14.3

Associez.

$- \frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4}) \cdot 1}{8 (8 e^{8})}$

Étape 14.4

Multipliez $3 + e^{4}$ par $1$ .

$- \frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4})}{8 \cdot 8 e^{8}}$

Étape 14.5

Multipliez $8$ par $8$ .

$- \frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4})}{8^{2} e^{8}}$

Étape 14.6

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$- \frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4})}{64 e^{8}}$

Étape 15

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4})}{64 e^{8}}$

Forme décimale :

$0.01557782 \dots$

Étape 16