Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} y^{3} - yd y d y$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{1} y^{3} d y + \int_{0}^{1} - yd y d y$

Étape 2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{3}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$\frac{1}{4} y^{4}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - yd y d y$

Étape 3

Comme $- yd$ est constant par rapport à $y$ , placez $- yd$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} y^{4}]_{0}^{1} - yd \int_{0}^{1} y d y$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{4} y^{4}]_{0}^{1} - yd \frac{1}{2} y^{2}]_{0}^{1}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$\frac{1}{4} y^{4}]_{0}^{1} - yd \frac{y^{2}}{2}]_{0}^{1}$

Étape 5.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Évaluez $\frac{1}{4} y^{4}$ sur $1$ et sur $0$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 1^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - yd \frac{y^{2}}{2}]_{0}^{1}$

Étape 5.2.2

Évaluez $\frac{y^{2}}{2}$ sur $1$ et sur $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - yd (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 5.2.3

Simplifiez

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Étape 5.2.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{4} \cdot 1 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - yd (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 5.2.3.2

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - yd (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 5.2.3.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0 - yd (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 5.2.3.4

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$\frac{1}{4} + 0 (\frac{1}{4}) - yd (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 5.2.3.5

Multipliez $0$ par $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} + 0 - yd (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 5.2.3.6

Additionnez $\frac{1}{4}$ et $0$ .

$\frac{1}{4} - yd (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 5.2.3.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{4} - yd (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 5.2.3.8

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{4} - yd (\frac{1}{2} - \frac{0}{2})$

Étape 5.2.3.9

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 5.2.3.9.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$\frac{1}{4} - yd (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Étape 5.2.3.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.9.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{1}{4} - yd (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Étape 5.2.3.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4} - yd (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Étape 5.2.3.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4} - yd (\frac{1}{2} - \frac{0}{1})$

Étape 5.2.3.9.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$\frac{1}{4} - yd (\frac{1}{2} - 0)$

Étape 5.2.3.10

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{1}{4} - yd (\frac{1}{2} + 0)$

Étape 5.2.3.11

Additionnez $\frac{1}{2}$ et $0$ .

$\frac{1}{4} - yd \frac{1}{2}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Associez $- yd$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{- 1}{2} yd$

Étape 5.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{2} yd$

Étape 6