Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} 11 x^{10} {(1 + x^{11})}^{10} d x$

Étape 1

Comme $11$ est constant par rapport à $x$ , placez $11$ en dehors de l’intégrale.

$11 \int_{0}^{1} x^{10} {(1 + x^{11})}^{10} d x$

Étape 2

Laissez $u = 1 + x^{11}$ . Alors $d u = 11 x^{10} d x$ , donc $\frac{1}{11} d u = x^{10} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Laissez $u = 1 + x^{11}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Différenciez $1 + x^{11}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{11}]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x^{11}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{11}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{11}]$

Étape 2.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{11}]$

Étape 2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 11$ .

$0 + 11 x^{10}$

Étape 2.1.5

Additionnez $0$ et $11 x^{10}$ .

$11 x^{10}$

Étape 2.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 1 + x^{11}$ .

$u_{lower} = 1 + 0^{11}$

Étape 2.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 2.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 1 + x^{11}$ .

$u_{upper} = 1 + 1^{11}$

Étape 2.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u_{upper} = 1 + 1$

Étape 2.5.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$u_{upper} = 2$

Étape 2.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Étape 2.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$11 \int_{1}^{2} u^{10} \frac{1}{11} d u$

Étape 3

Associez $u^{10}$ et $\frac{1}{11}$ .

$11 \int_{1}^{2} \frac{u^{10}}{11} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{11}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{11}$ en dehors de l’intégrale.

$11 (\frac{1}{11} \int_{1}^{2} u^{10} d u)$

Étape 5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Associez $\frac{1}{11}$ et $11$ .

$\frac{11}{11} \int_{1}^{2} u^{10} d u$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun de $11$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{11}{11} \int_{1}^{2} u^{10} d u$

Étape 5.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 \int_{1}^{2} u^{10} d u$

Étape 5.3

Multipliez $\int_{1}^{2} u^{10} d u$ par $1$ .

$\int_{1}^{2} u^{10} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{10}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{11} u^{11}$ .

$\frac{1}{11} u^{11}]_{1}^{2}$

Étape 7

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Évaluez $\frac{1}{11} u^{11}$ sur $2$ et sur $1$ .

$(\frac{1}{11} \cdot 2^{11}) - \frac{1}{11} \cdot 1^{11}$

Étape 7.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Élevez $2$ à la puissance $11$ .

$\frac{1}{11} \cdot 2048 - \frac{1}{11} \cdot 1^{11}$

Étape 7.2.2

Associez $\frac{1}{11}$ et $2048$ .

$\frac{2048}{11} - \frac{1}{11} \cdot 1^{11}$

Étape 7.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{2048}{11} - \frac{1}{11} \cdot 1$

Étape 7.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2048}{11} - \frac{1}{11}$

Étape 7.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2048 - 1}{11}$

Étape 7.2.6

Soustrayez $1$ de $2048$ .

$\frac{2047}{11}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{2047}{11}$

Forme décimale :

$186.\overline{09}$

Forme de nombre mixte :

$186 \frac{1}{11}$

Étape 9