Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} \arcsin (y) d y$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \arcsin (y)$ et $d v = 1$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} y \frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} d y$

Étape 2

Associez $y$ et $\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}}$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{y}{\sqrt{1 - y^{2}}} d y$

Étape 3

Laissez $u = 1 - y^{2}$ . Alors $d u = - 2 y d y$ , donc $- \frac{1}{2} d u = y d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1

Laissez $u = 1 - y^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $1 - y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 - y^{2}]$

Étape 3.1.2

Différenciez.

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Étape 3.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Étape 3.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Étape 3.1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

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Étape 3.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y^{2}$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 3.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - (2 y)$

Étape 3.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$0 - 2 y$

Étape 3.1.4

Soustrayez $2 y$ de $0$ .

$- 2 y$

Étape 3.2

Remplacez la limite inférieure pour $y$ dans $u = 1 - y^{2}$ .

$u_{lower} = 1 - 0^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = 1 - 0$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Étape 3.3.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 3.4

Remplacez la limite supérieure pour $y$ dans $u = 1 - y^{2}$ .

$u_{upper} = 1 - 1^{2}$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 1$

Étape 3.5.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$u_{upper} = 1 - 1$

Étape 3.5.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$u_{upper} = 0$

Étape 3.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Étape 3.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} - \int_{1}^{0} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} - \int_{1}^{0} \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{u}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} - \int_{1}^{0} - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Étape 4.3

Déplacez $2$ à gauche de $\sqrt{u}$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} - \int_{1}^{0} - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} - - \int_{1}^{0} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + 1 \int_{1}^{0} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Étape 6.2

Multipliez $\int_{1}^{0} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$ par $1$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + \int_{1}^{0} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Étape 7

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{1}^{0} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 8

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 8.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{1}^{0} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Étape 8.2

Retirez $u^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{1}^{0} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Étape 8.3

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 8.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{1}^{0} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Étape 8.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{1}^{0} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Étape 8.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{1}^{0} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + \frac{1}{2} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{0}$

Étape 10

Remplacez et simplifiez.

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Étape 10.1

Évaluez $\arcsin (y) y$ sur $1$ et sur $0$ .

$(\arcsin (1) \cdot 1) - \arcsin (0) \cdot 0 + \frac{1}{2} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{0}$

Étape 10.2

Évaluez $2 u^{\frac{1}{2}}$ sur $0$ et sur $1$ .

$(\arcsin (1) \cdot 1) - \arcsin (0) \cdot 0 + \frac{1}{2} ((2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 10.3

Simplifiez

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Étape 10.3.1

Multipliez $\arcsin (1)$ par $1$ .

$\arcsin (1) - \arcsin (0) \cdot 0 + \frac{1}{2} ((2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 10.3.2

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$\arcsin (1) + 0 \arcsin (0) + \frac{1}{2} ((2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 10.3.3

Multipliez $0$ par $\arcsin (0)$ .

$\arcsin (1) + 0 + \frac{1}{2} ((2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 10.3.4

Additionnez $\arcsin (1)$ et $0$ .

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} ((2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 10.3.5

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 10.3.6

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 10.3.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.3.7.1

Annulez le facteur commun.

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 10.3.7.2

Réécrivez l’expression.

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (2 \cdot 0^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 10.3.8

Évaluez l’exposant.

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (2 \cdot 0 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 10.3.9

Multipliez $2$ par $0$ .

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (0 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 10.3.10

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (0 - 2 \cdot 1)$

Étape 10.3.11

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (0 - 2)$

Étape 10.3.12

Soustrayez $2$ de $0$ .

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} \cdot - 2$

Étape 10.3.13

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 2$ .

$\arcsin (1) + \frac{- 2}{2}$

Étape 10.3.14

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 10.3.14.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\arcsin (1) + \frac{2 \cdot - 1}{2}$

Étape 10.3.14.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.3.14.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\arcsin (1) + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Étape 10.3.14.2.2

Annulez le facteur commun.

$\arcsin (1) + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Étape 10.3.14.2.3

Réécrivez l’expression.

$\arcsin (1) + \frac{- 1}{1}$

Étape 10.3.14.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$\arcsin (1) - 1$

Étape 11

La valeur exacte de $\arcsin (1)$ est $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{2} - 1$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{π}{2} - 1$

Forme décimale :

$0.57079632 \dots$