Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} 9 x {(x^{2} - 1)}^{9} d x$

Étape 1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , placez $9$ en dehors de l’intégrale.

$9 \int_{0}^{1} x {(x^{2} - 1)}^{9} d x$

Étape 2

Laissez $u = x^{2} - 1$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = x^{2} - 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0$

Étape 2.1.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 2.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x^{2} - 1$ .

$u_{lower} = 0^{2} - 1$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = 0 - 1$

Étape 2.3.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$u_{lower} = - 1$

Étape 2.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x^{2} - 1$ .

$u_{upper} = 1^{2} - 1$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u_{upper} = 1 - 1$

Étape 2.5.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$u_{upper} = 0$

Étape 2.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 0$

Étape 2.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$9 \int_{- 1}^{0} u^{9} \frac{1}{2} d u$

Étape 3

Associez $u^{9}$ et $\frac{1}{2}$ .

$9 \int_{- 1}^{0} \frac{u^{9}}{2} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$9 (\frac{1}{2} \int_{- 1}^{0} u^{9} d u)$

Étape 5

Associez $\frac{1}{2}$ et $9$ .

$\frac{9}{2} \int_{- 1}^{0} u^{9} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{9}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{10} u^{10}$ .

$\frac{9}{2} \frac{1}{10} u^{10}]_{- 1}^{0}$

Étape 7

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.1

Évaluez $\frac{1}{10} u^{10}$ sur $0$ et sur $- 1$ .

$\frac{9}{2} ((\frac{1}{10} \cdot 0^{10}) - \frac{1}{10} {(- 1)}^{10})$

Étape 7.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{9}{2} (\frac{1}{10} \cdot 0 - \frac{1}{10} {(- 1)}^{10})$

Étape 7.2.2

Multipliez $\frac{1}{10}$ par $0$ .

$\frac{9}{2} (0 - \frac{1}{10} {(- 1)}^{10})$

Étape 7.2.3

Élevez $- 1$ à la puissance $10$ .

$\frac{9}{2} (0 - \frac{1}{10} \cdot 1)$

Étape 7.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{9}{2} (0 - \frac{1}{10})$

Étape 7.2.5

Soustrayez $\frac{1}{10}$ de $0$ .

$\frac{9}{2} (- \frac{1}{10})$

Étape 7.2.6

Multipliez $\frac{9}{2}$ par $\frac{1}{10}$ .

$- \frac{9}{2 \cdot 10}$

Étape 7.2.7

Multipliez $2$ par $10$ .

$- \frac{9}{20}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{9}{20}$

Forme décimale :

$- 0.45$

Étape 9